З якою початковою швидкістю слід кинути гранату РГД-5 під кутом 45°, щоб вона вибухнула в момент падіння на землю

Скользкий_Пингвин_455

21

Для розгязування даної задачі використаємо закони руху та закони проведення швидких рухів.

За відомими даними, граната вибухає в момент падіння на землю, тому час польоту гранати можна розбити на дві фази: той, коли граната рухається під дією початкової швидкості та коли граната падає під впливом власної ваги.

На першій фазі, коли граната рухається горизонтально, вона пройдуть деяку відстань, яку можна обчислити за формулою:
\[S = V_0 \cdot t\]
де \(V_0\) - початкова швидкість гранати, \(t\) - час тривалості першої фази.

На другій фазі, коли граната падає під впливом власної ваги, можна застосувати формулу для відстані польоту гранати:
\[H = \frac{g \cdot t^2}{2}\]
де \(H\) - максимальна висота польоту гранати над землею, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(t\) - час тривалості другої фази.

Для знаходження початкової швидкості гранати, щоб вона вибухнула в момент падіння на землю, скористаємося принципом суперпозиції швидкостей. Загальна швидкість гранати на момент падіння на землю складатиметься з вертикальної компоненти швидкості \(V_y\) і горизонтальної компоненти швидкості \(V_x\). Вертикальна компонента швидкості повинна бути рівна нулю, оскільки граната досягає максимальної висоти і починає падати.

Розглянемо рух в вертикальному напрямку на другій фазі польоту гранати. Використовуючи рівняння руху:
\[H = \frac{V_{0y} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}}{2}\]
де \(H\) - максимальна висота польоту, \(V_{0y}\) - вертикальна компонента початкової швидкості, \(t\) - час тривалості другої фази, \(g\) - прискорення вільного падіння.

Далі розглядаємо рух у горизонтальному напрямку. Граната рухається на першій фазі з постійною швидкістю \(V_x\). Час руху на першій фазі дорівнює часу горіння запобіжного пристрою і складає 3 секунди.

Для знаходження початкової швидкості гранати, можна скористатися формулою:
\[S = V_x \cdot t\]
де \(S\) - відстань руху на першій фазі, \(V_x\) - горизонтальна компонента початкової швидкості, \(t\) - час тривалості першої фази.

Застосуємо закон суперпозиції швидкостей та підставимо значення відстані руху на першій фазі, що дорівнює відстані за 3 секунди:
\[S = V_x \cdot t = V_x \cdot 3\]

Отримаємо систему рівнянь:
\[\begin{cases} H = \frac{V_{0y} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}}{2} \\ S = V_x \cdot 3 \end{cases}\]

Розв"яжемо систему рівнянь для знаходження початкової швидкості гранати та максимальної висоти польоту:

1) Почнемо з другого рівняння системи:
\[S = V_x \cdot 3\]
Звідси, знаходимо горизонтальну компоненту початкової швидкості:
\[V_x = \frac{S}{3}\]

2) Підставимо значення горизонтальної компоненти початкової швидкості до першого рівняння системи:
\[H = \frac{V_{0y} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}}{2}\]
Підставимо значення \(V_x\) та \(t = 3\) з умови задачі у це рівняння:
\[H = \frac{V_{0y} \cdot 3 - \frac{g \cdot 9}{2}}{2}\]

3) Враховуючи, що граната під кутом 45°, можна записати компоненти початкової швидкості:
\[V_{0x} = V_{0y} \cdot \cos{45°}\]
\[V_{0y} = V_{0x} \cdot \sin{45°}\]

4) Підставимо значення \(V_{0y}\) в пункті 3) у рівняння з пункту 2):
\[H = \frac{V_{0x} \cdot \sin{45°} \cdot 3 - \frac{g \cdot 9}{2}}{2}\]

5) Остаточне значення \(V_{0x}\) знаходимо з пункту 1):
\[V_{0x} = \frac{S}{3}\]

6) В якості \(g\) можна прийняти приблизне значення 9.8 м/с².

Підставляючи всі значення до відповідних формул, отримаємо початкову швидкість гранати та максимальну висоту польоту, при яких граната вибухне в момент свого падіння на землю. Будь ласка, впишіть задані в умові задачі числові значення і я з радістю покажу вам розрахунки для даної задачі.