Задача 1. У спутника Титания период обращения вокруг Урана составляет 8,7 земных суток. Найдите большую полуось орбиты

Дмитриевич

18

Задача 1.
Период обращения спутника Титания вокруг Урана составляет 8,7 земных суток, а период обращения спутника Ариэля приблизительно равен 2,5 земных суток. Также известно, что большая полуось орбиты Ариэля составляет 191 000 километров.

Для решения задачи воспользуемся законом Кеплера о периодах обращения планет и спутников. Согласно этому закону, отношение куба большой полуоси орбиты квадрату периода обращения является постоянным для каждого из спутников.

Пусть \(a_1\) и \(T_1\) - большая полуось и период обращения Титания соответственно, а \(a_2\) и \(T_2\) - большая полуось и период обращения Ариэля.

Имеем следующее равенство:

\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2\]

Подставляем известные значения:

\[\left(\frac{a_1}{191000}\right)^3 = \left(\frac{8.7}{2.5}\right)^2\]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \(a_1\):

\[\left(\frac{a_1}{191000}\right)^3 = \left(\frac{87}{25}\right)^2\]

Извлекаем корень третьей степени от обеих сторон уравнения:

\[\frac{a_1}{191000} = \frac{87}{25}\]

Умножаем обе стороны на 191000, чтобы изолировать \(a_1\):

\[a_1 = \frac{87}{25} \cdot 191000\]

Производим вычисления:

\[a_1 = 673,320 \, \text{км}\]

Таким образом, большая полуось орбиты Титания составляет 673,320 километров.

Задача 2.
Период обращения Земли вокруг Солнца составляет 365 земных суток, а период обращения Сатурна - 10,759 земных суток. Известно также, что средний радиус орбиты Сатурна равен 9,58 а.е.

По аналогии с предыдущей задачей используем закон Кеплера. Обозначим \(a\) - большую полуось орбиты Сатурна и \(T\) - его период обращения.

Снова применяем формулу:

\[\left(\frac{a}{1 \, \text{а.е.}}\right)^3 = \left(\frac{T}{365}\right)^2\]

Подставляем известные значения:

\[\left(\frac{a}{9.58}\right)^3 = \left(\frac{10.759}{365}\right)^2\]

Решаем уравнение:

\[\left(\frac{a}{9.58}\right)^3 = 0.0675^2\]

Теперь извлекаем корень третьей степени:

\[\frac{a}{9.58} = 0.0675\]

Умножаем обе стороны на 9.58:

\[a = 0.0675 \cdot 9.58\]

Производим вычисления:

\[a = 0.64785 \, \text{а.е.}\]

Значит, большая полуось орбиты Сатурна составляет примерно 0.64785 астрономических единиц.

Это является полным решением задачи, где каждый шаг обоснован и понятен школьнику.