Задание 1. ( ) Какова большая полуось орбиты спутника Титания, если его период обращения вокруг Урана составляет

Galina

2

Задание 1:
Для решения задачи, нам необходимо использовать законы Кеплера, которые описывают движение небесных объектов вокруг друг друга. Значения периодов обращения спутников даны в земных сутках.

Как известно из первого закона Кеплера, орбиты планет и спутников являются эллипсами. Большая полуось орбиты - это расстояние от центра эллипса до ее самой дальней точки.

Для решения задачи, мы будем использовать формулу, связывающую период обращения планеты, полуось ее орбиты и гравитационную постоянную:

\[ T^2 = \dfrac{4\pi^2a^3}{GM} \]

Где:
\( T \) - период обращения планеты или спутника,
\( a \) - большая полуось орбиты,
\( G \) - гравитационная постоянная,
\( M \) - масса тела, вокруг которого обращается спутник.

Для решения первой задачи, нам дано значение периода обращения спутника Титания вокруг Урана (8,7 земных суток) и периода обращения спутника Ариэля (2,5 земных суток).

1) Найдем большую полуось орбиты спутника Титания:
\[ T_1 = 8.7 \text{ земных суток} \]
\[ a_1 \text{ - большая полуось орбиты Титания} \]
\[ T_2 = 2.5 \text{ земных суток} \]
\[ a_2 \text{ - большая полуось орбиты Ариэля} \]

Мы можем использовать формулу для нахождения отношения больших полуосей орбит:
\[ \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3 = \dfrac{T_1^2}{T_2^2} \]

Подставляя значения:
\[ \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3 = \dfrac{8.7^2}{2.5^2} \]
\[ \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3 = 10.93 \]

Извлекая кубический корень от обеих сторон уравнения:
\[ \dfrac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{10.93} \approx 2.186 \]

Теперь мы знаем, что отношение больших полуосей равно примерно 2.186. Для получения значения большой полуоси орбиты Титания, мы можем выбрать любое значение для большой полуоси орбиты Ариэля и умножить его на найденное отношение.

Например, если мы возьмем значение большой полуоси орбиты Ариэля равное 1000 единицам расстояния, то:
\[ a_1 \approx 2.186 \times 1000 = 2186 \text{ единиц расстояния} \]

Таким образом, большая полуось орбиты спутника Титания составляет примерно 2186 единиц расстояния.

Задание 2:
В данной задаче нам дано значение периода обращения Земли вокруг Солнца (365 земных суток) и периода обращения Сатурна (10759 земных суток). Нам также известен средний радиус орбиты Сатурна (9.58 единиц расстояния).

Мы можем использовать формулу для нахождения углового расстояния между Сатурном и Солнцем на определенную дату:
\[ \theta = \dfrac{2\pi \Delta t}{T} \]

Где:
\( \theta \) - угловое расстояние между Сатурном и Солнцем,
\( \Delta t \) - время с момента определенной даты,
\( T \) - период обращения Земли.

1) Найдем период обращения Сатурна относительно периода обращения Земли:
\[ T_1 = 10759 \text{ земных суток} \]
\[ T_2 = 365 \text{ земных суток} \]

Мы можем использовать формулу для нахождения отношения периодов:
\[ \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{\theta_1}{\theta_2} \]
\[ \dfrac{10759}{365} = \dfrac{\theta_1}{90} \]

Найдем значение углового расстояния:
\[ \theta_1 = \dfrac{90 \times 10759}{365} \approx 2652.11 \text{ градусов} \]

Теперь мы знаем, что Сатурн находился на угловом расстоянии приблизительно 2652.11 градусов от Солнца.

Надеюсь, эти подробные и обстоятельные ответы помогут вам понять решение данных задач. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задать их.