Знайдіть міру зовнішнього кута при вершині А трикутника ABC, заданого координатами його вершин: A(1; 3), B(2

Золотой_Лорд_99

58

Щоб знайти міру зовнішнього кута при вершині А трикутника ABC, заданого координатами його вершин, нам потрібно обчислити внутрішні кути трикутника спочатку.

Крок 1: Визначення сторін трикутника
Задано вершини трикутника ABC з координатами A(1; 3), B(2; 4) і C(3; 3). Давайте обчислимо сторони трикутника AB, BC і CA, використовуючи формулу відстані між двома точками.
\[
AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}
\]
\[
BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}
\]
\[
CA = \sqrt{{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}}
\]

Підставивши відповідні значення, отримаємо:
\[
AB = \sqrt{{(2 - 1)^2 + (4 - 3)^2}}
\]
\[
BC = \sqrt{{(3 - 2)^2 + (3 - 4)^2}}
\]
\[
CA = \sqrt{{(1 - 3)^2 + (3 - 3)^2}}
\]
Обчислюючи ці значення, отримаємо:
\[
AB = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]
\[
BC = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]
\[
CA = \sqrt{4} = 2
\]

Крок 2: Обчислення внутрішніх кутів
Використовуючи теорему косинусів, ми можемо обчислити внутрішні кути трикутника ABC. Формула для теореми косинусів виглядає так:
\[
\cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]
\[
\cos(B) = \frac{{c^2 + a^2 - b^2}}{{2ca}}
\]
\[
\cos(C) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}
\]

Підставивши значення сторін трикутника AB, BC і CA, отримаємо:
\[
\cos(A) = \frac{{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2^2}}{{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}
\]
\[
\cos(B) = \frac{{(\sqrt{2})^2 + 2^2 - (\sqrt{2})^2}}{{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}}
\]
\[
\cos(C) = \frac{{2^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}}{{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}}
\]
Спрощуючи, отримаємо:
\[
\cos(A) = \frac{{2 + 2 - 4}}{{4}} = 0
\]
\[
\cos(B) = \frac{{2 + 4 - 2}}{{4 \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{4}}{{4 \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}
\]
\[
\cos(C) = \frac{{4 + 2 - 2}}{{4 \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{4}}{{4 \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}
\]

Крок 3: Знаходження міри зовнішнього кута
Міра зовнішнього кута трикутника може бути знайдена, використовуючи відомі властивості трикутника. Сума мір зовнішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 360 градусів.

Тому, щоб знайти міру зовнішнього кута при вершині А, ми можемо обчислити різницю між 360 градусами та мірами внутрішніх кутів при вершинах B і C.

\[
\text{{Міра зовнішнього кута}}(A) = 360^\circ - \text{{Міра внутрішнього кута}}(B) - \text{{Міра внутрішнього кута}}(C)
\]

Підставивши відповідні значення, отримаємо:
\[
\text{{Міра зовнішнього кута}}(A) = 360^\circ - \arccos\left(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right) - \arccos\left(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right)
\]
Обчислюючи це вираз, отримаємо:
\[
\text{{Міра зовнішнього кута}}(A) \approx 360^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 270^\circ
\]

Отже, міра зовнішнього кута при вершині А трикутника ABC дорівнює приблизно 270 градусів.