Знайдіть суму площ усіх граней куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда становлять 3 см, 3 см, а об єм куба вдвічі

Kedr

50

Доступный способ решить эту задачу состоит в том, чтобы сначала найти объем параллелепипеда, а затем использовать полученные данные для вычисления суммы площадей всех граней куба.

Шаг 1: Найти объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда вычисляется как произведение его трех измерений: длины, ширины и высоты. В данной задаче прямоугольного параллелепипеда, у которого длина и ширина равны 3 см, а его объем вдвое меньше объема куба.

Обозначим длину прямоугольного параллелепипеда как \(a\), ширину как \(b\) и высоту как \(h\). Тогда по условию задачи:

\[a = 3 \, \text{см}\]
\[b = 3 \, \text{см}\]
\[ab \cdot h = \frac{1}{2} \cdot s^3\]

Мы знаем, что объем куба равен \(s^3\), а объем прямоугольного параллелепипеда равен \(ab \cdot h\), где \(s\) - длина ребра куба.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[3 \cdot 3 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot s^3\]

Шаг 2: Решение уравнения

Для решения уравнения относительно \(h\) мы должны сначала найти значение \(s\) путем взятия кубического корня от двойного объема параллелепипеда:

\[s = \sqrt[3]{2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot h)} \quad \text{(1)}\]

Затем, подставим это значение \(s\) в уравнение и решим его относительно \(h\):

\[3 \cdot 3 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt[3]{2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot h)})^3\]

\[9h = \frac{1}{2} \cdot (6h)^3\]
\[9h = \frac{1}{2} \cdot 216h^3\]
\[432h = 9h^3\]

Теперь, чтобы решить уравнение, делим обе его стороны на \(h\):

\[432 = 9h^2\]
\[h^2 = \frac{432}{9}\]
\[h^2 = 48\]

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы получить значение \(h\):

\[h = \sqrt{48}\]
\[h = 4\sqrt{3}\]

Шаг 3: Найдем сумму площадей граней куба

Теперь, когда мы знаем значение \(h\) (высоту параллелепипеда), мы можем найти длину ребра куба:

\[s = 2 \cdot a = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\]

Затем найдем площадь боковой грани куба:

\[A = s \cdot h = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}^2\]

У куба 6 граней одинаковых по площади, следовательно, сумма площадей всех граней равна:

\[6A = 6 \cdot 24\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ см}^2\]

В итоге, сумма площадей всех граней куба составляет \(144\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.