1. Если k> 0, то какая из следующих утверждений верна: а) функция y=kx^2 возрастает при x≥0 и убывает при x≤0

Тигресса

18

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и обсудим их решение.

1. В данной задаче нам дана функция \(y=kx^2\), где \(k>0\). Нам нужно определить, какое из предложенных утверждений верно.

- Утверждение а) говорит, что функция возрастает при \(x\geq0\) и убывает при \(x\leq0\).
- Утверждение б) говорит, что функция возрастает и при \(x\geq0\), и при \(x\leq0\).
- Утверждение в) говорит, что функция убывает при \(x\geq0\) и \(x\leq0\).
- Утверждение г) говорит, что функция убывает при \(x\geq0\) и возрастает при \(x\leq0\).

Чтобы определить, какое утверждение верно, давайте рассмотрим график функции.

Так как \(k>0\), функция \(y=kx^2\) будет открываться вверх. Это означает, что у функции будет минимум в точке, а налево и направо от этой точки функция будет возрастать.

Поэтому, правильным утверждением будет г) функция \(y=kx^2\) убывает при \(x\geq0\) и возрастает при \(x\leq0\).

2. В данной задаче нам нужно найти значения \(y_{\min}\) и \(y_{\max}\) для функции \(y=kx^2\), где \(k>0\).

Поскольку функция \(y=kx^2\) открывается вверх, ее минимум будет в точке, а значения будут бесконечно возрастать как \(x\) стремится к плюс или минус бесконечности.

Таким образом, \(y_{\min}=0\) (достижимо при \(x=0\)) и \(y_{\max}\) неограничено.

3. В данной задаче нам нужно определить область значений функции \(y=kx^2\), где \(k>0\).

Область значений функции - это множество всех возможных значений \(y\) при всех значениях \(x\) из области определения функции.

Так как функция \(y=kx^2\) открывается вверх, то все значения \(y\) будут положительными или равными нулю. Следовательно, область значений функции \(y=kx^2\) будет положительные числа и ноль: \([0, +\infty)\).

4. В данной задаче нам нужно определить, какое из предложенных утверждений верно для функции \(y=kx^2\), где \(k>0\).

- Утверждение а) говорит, что функция \(y=kx^2\) выпукла вверх.
- Утверждение б) говорит, что функция \(y=kx^2\) выпукла вниз.

Для определения выпуклости функции \(y=kx^2\) можно проанализировать знак второй производной.

Возьмем производную функции \(y=kx^2\) по переменной \(x\):

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2kx\]

Возьмем вторую производную:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 2k\]

Значение второй производной положительное (\(2k > 0\)), что означает, что график функции выпуклый вверх. Следовательно, правильным утверждением будет а) функция \(y=kx^2\) выпукла вверх.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!