1. Если разность радиусов двух окружностей равна расстоянию между их центральными точками, то они касаются друг друга

Donna

22

Задача 1:
Предположим, что у нас есть две окружности: окружность 1 с радиусом \(r_1\) и центром в точке \(O_1\) и окружность 2 с радиусом \(r_2\) и центром в точке \(O_2\). Если разность радиусов этих окружностей равна расстоянию между их центральными точками, то это означает, что \(r_2 - r_1 = |O_2O_1|\).

Чтобы доказать, что окружности касаются, нам нужно показать, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, то есть \(|O_2O_1| = r_1 + r_2\).

Из условия задачи мы уже знаем, что \(r_2 - r_1 = |O_2O_1|\). Теперь нам нужно показать, что \(|O_2O_1| = r_1 + r_2\).

Для этого, давайте проведем прямую, соединяющую центры окружностей, и обозначим ее как \(OC\). Для удобства, представим себе, что окружность 1 находится внутри окружности 2.

Так как \(OC\) - это отрезок, соединяющий центры окружностей, длина этого отрезка равна \(|O_2O_1|\).

Также, так как окружность 1 находится внутри окружности 2, расстояние от центра окружности 2 до внешней границы окружности 1 равно ее радиусу \(r_1\).

Тогда, расстояние от центра окружности 2 до внешней границы окружности 2 равно \(r_1 + r_2\), так как к радиусу окружности 1 нужно прибавить радиус окружности 2, чтобы добраться до внешней границы окружности 2.

Таким образом, мы получили, что \(|OC| = r_1 + r_2\).

Теперь сравним это с предыдущим равенством: \(|O_2O_1| = r_2 - r_1\).

Если мы заметим, что \(|OC| = |O_2O_1|\), то это означает, что \(r_1 + r_2 = r_2 - r_1\).

Можем упростить это равенство, сложив оба радиуса и получив \(2r_1 = 2r_2\).

Так как равенство выполняется, это значит, что \(r_1\) должно быть равно \(r_2\).

Итак, мы доказали, что если разность радиусов двух окружностей равна расстоянию между их центральными точками, то они касаются друг друга.

Задача 2:
У нас есть окружность с центром в точке \(O\) и двумя углами, опирающимися на одну дугу. Обозначим эти углы как \(\angle A\) и \(\angle B\).

Чтобы доказать, что эти углы равны, нам понадобится использовать теорему о центральном угле.

Теорема о центральном угле: Центральный угол, опирающийся на дугу, равен двойному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Так как наши углы \(\angle A\) и \(\angle B\) опираются на одну и ту же дугу, мы можем сказать, что \(\angle A\) равен дважды углу, опирающемуся на эту же дугу.

Итак, мы доказали, что в данной окружности углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Задача 3:
У нас есть вписанный угол в окружность, и этот угол равен 30°. Мы хотим найти длину дуги окружности, на которую этот угол опирается.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство вписанных углов.

Свойство вписанных углов: Угол, опирающийся на дугу, равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, наш вписанный угол равен 30°. По свойству вписанных углов, дуга, на которую он опирается, равна удвоенному значению этого угла.

Давайте обозначим длину искомой дуги как \(d\). Тогда по свойству вписанных углов, \(d = 2 \times 30° = 60°\).

Таким образом, мы доказали, что дуга окружности, на которую вписанный угол опирается, равна 60°.

Задача 4:
Нам нужно доказать, что через любые различные точки, не находящиеся на одной прямой, проходит только одна окружность.

Для этого нам понадобится использовать свойство окружности, которое гласит: Через три различные точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность.

Итак, давайте рассмотрим случай с четырьмя точками \(A, B, C\) и \(D\), такими что они не лежат на одной прямой.

Предположим, что существует две окружности: окружность 1, проходящая через точки \(A, B\) и \(C\), и окружность 2, проходящая через точки \(B, C\) и \(D\).

Согласно свойству окружности, через три различные точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность.

Поэтому, если окружность 1 проходит через точки \(A, B\) и \(C\), то окружность 2 не может проходить через эти же точки.

Таким же образом, если окружность 2 проходит через точки \(B, C\) и \(D\), то окружность 1 не может проходить через эти же точки.

Таким образом, мы доказали, что через любые различные точки, не находящиеся на одной прямой, проходит только одна окружность.

Это завершает решение задачи. Если есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.