1) Какая будет установившаяся температура газа, если один моль гелия находится в вертикальном закрытом

Вадим

37

Задача 1:

Для решения данной задачи мы будем использовать уравнение состояния идеального газа и уравнение Архимеда.

1. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[PV = nRT\]
Где:
- P - давление газа (неизвестное значение).
- V - объем газа (неизвестное значение).
- n - количество вещества газа (1 моль).
- R - универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/(моль·К)).
- T - температура газа (неизвестное значение).

2. Распишем уравнение Архимеда:
\[F_1 = F_2\]
\[F_1 = P_1 \cdot S_1\]
\[F_2 = P_2 \cdot S_2\]
Где:
- F_1 - сила, действующая на поршень сверху (равна массе гири, умноженной на ускорение свободного падения).
- F_2 - сила, действующая на поршень снизу (равна давлению газа, умноженному на площадь поршня).
- P_1 - давление газа внутри цилиндра (неизвестное значение).
- P_2 - атмосферное давление (100 кПа).
- S_1 - площадь поршня сверху (рассчитываем по формуле площади круга).
- S_2 - площадь поршня снизу (рассчитываем по формуле площади круга).

3. Учитываем, что сумма сил должна быть равна 0:
\[F_1 - F_2 = 0\]
\[P_1 \cdot S_1 - P_2 \cdot S_2 = 0\]
\[P_1 \cdot S_1 = P_2 \cdot S_2\]
\[P_1 = \frac{{P_2 \cdot S_2}}{{S_1}}\]

4. Подставляем значения в уравнение состояния идеального газа:
\[P \cdot V = nRT\]
\[P \cdot \pi r^2 h = nRT\]
\[P \cdot \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = nRT\]
\[P = \frac{{nRT}}{{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h}}\]

5. Подставляем полученное значение в уравнение из пункта 3:
\[P_1 = \frac{{P_2 \cdot S_2}}{{S_1}}\]
\[P_1 = \frac{{P_2 \cdot \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2}}{{\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2}}\]
\[P_1 = \frac{{P_2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2}}{{\left(\frac{D}{2}\right)^2}}\]

6. Теперь можем найти значение давления газа P_1:
\[P_1 = \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot \left(\frac{0,1 \, \text{м}}{2}\right)^2}}{{\left(\frac{0,3 \, \text{м}}{2}\right)^2}}\]
\[P_1 = \frac{{100 \cdot 10^3 \, \text{Па} \cdot 0,01 \, \text{м}^2}}{{0,09 \, \text{м}^2}}\]
\[P_1 = \frac{{10^6 \, \text{Па} \cdot 0,01}}{{0,09}}\]
\[P_1 = 1,11 \cdot 10^5 \, \text{Па}\]

7. Теперь можем найти объем газа V:
\[P \cdot V = nRT\]
\[V = \frac{{nRT}}{{P}}\]
\[V = \frac{{1 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot T}}{{1,11 \cdot 10^5 \, \text{Па}}}\]

8. Вычисляем установившуюся температуру газа:
\[V = \frac{{1 \cdot 8,31 \cdot T}}{{1,11 \cdot 10^5}}\]
\[T = \frac{{V \cdot 1,11 \cdot 10^5}}{{8,31}}\]
\[T = \frac{{\frac{{1 \cdot 8,31 \cdot T}}{{1,11 \cdot 10^5}} \cdot 1,11 \cdot 10^5}}{{8,31}}\]
\[T = T\]

Ответ: Установившаяся температура газа будет равна исходной температуре газа.

Задача 2:

Для решения данной задачи мы будем использовать первый закон термодинамики для адиабатического процесса.

1. Воспользуемся формулой для работы в адиабатическом процессе:
\[W = C_V \cdot (T_2 - T_1)\]
Где:
- W - работа, выполненная газом (неизвестное значение).
- C_V - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (неизвестное значение).
- T_1 - исходная температура газа.
- T_2 - конечная температура газа (неизвестное значение).

2. Найдем изменение температуры газа:
\[\Delta T = T_2 - T_1 = -27 \, \text{градусов Цельсия}\]

3. Подставим полученные значения в формулу для работы:
\[W = C_V \cdot (-27)\]

Ответ: Газ выполнит работу \(W = -27 \cdot C_V\) Дж.