1. Какая из представленных функций является первообразной функции у = 3х3 – 2х ? А) В) х4 – 2х2 + 3; Б) х4 – х2

Kosmicheskaya_Sledopytka

8

1. Чтобы найти первообразную функцию \(F(x)\) для функции \(y = 3x^3 - 2x\), мы должны найти функцию, производная которой равна \(3x^3 - 2x\). Рассмотрим варианты ответов:
А) \(x^4 - 2x^2 + 3\)
Б) \(x^4 - x^2\)
Теперь найдем производную каждой функции вариантов ответов:
А) \(\frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x\)
Б) \(\frac{d}{dx}(x^4 - x^2) = 4x^3 - 2x\)
Мы видим, что производные функций вариантов ответов не равны изначальной функции \(y = 3x^3 - 2x\). Таким образом, ни один из предложенных вариантов ответов не является первообразной функцией для данной функции.

2. Чтобы найти общий вид функций \(F(x)\), являющихся первообразными функциями \(y = \cos^2 x\), мы должны знать, что производная \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\). Рассмотрим варианты ответов:
А) \(-\sin^2 x + c\)
Б) \(\sin^2 x + c\)
В) \(2\sin^2 x + c\)
При взятии производной от вариантов ответов мы видим, что только ответ \(2\sin^2 x + c\) дает нам производную, равную исходной функции \(y = \cos^2 x\). Таким образом, ответ В) - \(2\sin^2 x + c\) - является общим видом функций \(F(x)\), первообразных для \(y = \cos^2 x\).

3. Чтобы найти значение функции \(F(1)\) для функции \(f(x) = x^3 - 4x + 1\), мы должны вычислить \(F(1)\), где \(F(x)\) - первообразная функция для \(f(x)\). Рассмотрим варианты ответов:
А)
В)
Б)
Г)
Для нахождения функции \(F(x)\) мы должны найти общее решение дифференциального уравнения, \(\int (x^3 - 4x + 1) \, dx\). Выполним интегрирование и подставим верхний предел интегрирования:
\[\int (x^3 - 4x + 1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\]
Теперь, чтобы найти \(F(1)\), подставим \(x = 1\) в выражение для \(F(x)\):
\(F(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - 2(1)^2 + 1 + C = \frac{1}{4} - 2 + 1 + C = -\frac{7}{4} + C\)
Ответом будет любое значение, равное \(-\frac{7}{4} + C\), где \(C\) - произвольное постоянное.

4. Чтобы найти первообразную функции \(y = 3 + 4x^3\), проходящую через точку \(M(1; 1)\), мы должны найти функцию, производная которой равна \(3 + 4x^3\) и условие, что она проходит через точку \(M(1; 1)\). Рассмотрим варианты ответов:
А) \(y = x^4 + 3x - 3\)
В) \(y = 4x^4 + 3x - 7\)
Б) \(y = x^4\)
Чтобы найти первообразную функцию, мы должны взять интеграл от \(3 + 4x^3\) и добавить произвольную постоянную \(C\). Выполним интегрирование:
\[\int (3 + 4x^3) \, dx = 3x + x^4 + C\]
Теперь, чтобы найти значение \(y\) в точке \(M(1; 1)\), подставим \(x = 1\) в выражение для \(y\):
\(y = 3(1) + (1)^4 + C = 3 + 1 + C = 4 + C\)
Мы также знаем, что график функции проходит через точку \(M(1; 1)\), поэтому должно выполняться \(y = 1\) при \(x = 1\). Это позволяет нам найти значение постоянной \(C\):
\(4 + C = 1 \Rightarrow C = -3\)
Таким образом, первообразная функция, проходящая через точку \(M(1; 1)\), имеет вид \(y = x^4 + 3x - 3\).

5. Некоторые интегралы не могут быть вычислены в элементарных функциях. Эти интегралы называются "непримитивными". Например, интеграл \(\int e^{-x^2} \, dx\) является непримитивным. Есть много других примеров непримитивных интегралов, но общий признак таких интегралов - отсутствие элементарной функции, которая может представить ответ в виде формулы, содержащей только основные математические операции и функции.