1. Какое количество способов выбрать капитана и заместителя из 12 членов команды? 2. Каков результат вычисления

Таинственный_Маг

53

Конечно! Давайте разберем каждую задачу по очереди:

1. Количество способов выбрать капитана и заместителя из 12 членов команды можно вычислить по формуле для размещений без повторения: \(A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данной задаче нам нужно выбрать 2 человека из 12, поэтому мы можем использовать формулу размещений с \(n = 12\) и \(k = 2\):
\[A_{12}^{2} = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = 12 \cdot 11 = 132 \text{ способа}\]

2. Для вычисления выражения \(4P3 + 3A210 - С25\) нам понадобится знать определение и свойства перестановок, размещений и сочетаний.

Перестановки обозначаются как \(P_n^k\) и определяются формулой:
\[P_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Размещения обозначаются как \(A_n^k\) и определяются формулой:
\[A_{n}^{k} = n^k\]

Сочетания обозначаются как \(C_n^k\) и определяются формулой:
\[C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь приступим к вычислению:
\(4P3 = 4 \cdot P_3^3 = 4 \cdot \frac{3!}{(3-3)!} = 4 \cdot \frac{3!}{0!} = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 6 = 24\)

\(3A210 = 3 \cdot A_2^10 = 3 \cdot 2^{10} = 3 \cdot 1024 = 3072\)

\(C25 = \binom{2}{5} = \frac{2!}{5!(2-5)!} = \frac{2!}{5!(-3)!} = 0\) (так как \((-3)!\) не существует)

Итак, результат вычисления выражения \(4P3 + 3A210 - C25\) равен \(24 + 3072 - 0 = 3096\).

3. Для определения вероятности выпускника, случайно встреченного, работающего в банке, нам понадобится знать общее количество выпускников и количество выпускников, работающих в банке.

Исходя из условия, в экономическом институте работает 17 человек, в фирме - 23 человека, и в налоговой инспекции - 19 человек. Общее количество выпускников можно найти, сложив количество выпускников в каждом месте работы:
\(17 + 23 + 19 = 59\) выпускников.

Вероятность выпускника, случайно встреченного, работающего в банке, можно найти, разделив количество выпускников, работающих в банке, на общее количество выпускников:
\(\frac{17}{59}\).

4. Чтобы определить количество способов расставить 8 различных книг на полке так, чтобы два сборника стихов оказались рядом, мы можем представить два сборника, как один объект. Таким образом, у нас остается 7 объектов (1 группа из двух сборников стихов и 6 остальных книг) для расстановки на полке.

Поскольку порядок расстановки имеет значение, мы можем использовать формулу для размещений с повторениями:
\(A_{n}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\),
где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов в выборке.

В данной задаче нам нужно разместить 7 объектов, поэтому мы можем использовать формулу размещений с \(n = 7\) и \(k = 7\):
\(A_{7}^{7} = \frac{(7+7-1)!}{(7-1)!} = \frac{13!}{6!} = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4,324,480\) способов.

5. Чтобы определить количество способов выбрать команду из 6 человек для игры в КВН, мы можем использовать формулу для сочетаний без повторений:
\(C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),
где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данной задаче нам нужно выбрать 6 человек из общего числа 6:
\(C_{6}^{6} = \binom{6}{6} = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = \frac{6!}{6! \cdot 1} = 1\) способ.

Таким образом, количество способов выбрать команду из 6 человек для игры в КВН равно 1.

Это все шаги и решения к заданным вопросам. Буду рад помочь с другими вопросами!