1) Какое максимальное расстояние от точки броска достигает обруч, который вращается вокруг горизонтальной

Золотая_Пыль

60

Давайте решим задачу по порядку.

1) Чтобы найти максимальное расстояние, которое достигает обруч, нам необходимо рассмотреть движение обруча после броска. Поскольку обруч вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и параллельной плоскости, у нас есть два типа движений, которые нужно рассмотреть:
- Вращательное движение вокруг своей оси, вызванное начальной скоростью \(v_0\) и сохранение углового момента.
- Переход от вращательного движения к движению по прямой (возврат к точке броска).

Давайте начнём с первого типа движения. Учитывая, что обруч вращается без проскальзывания, радиус вращения обруча будет зависеть от его скорости вращения. Мы можем использовать закон сохранения углового момента:
\[L = I \cdot \omega,\]
где \(L\) - угловой момент, \(I\) - момент инерции обруча и \(\omega\) - скорость вращения.

Возможен следующий подход: если обруч вращается без проскальзывания, его нижняя точка находится в покое. Это означает, что сила трения скольжения между обручем и столом должна создавать необходимый угловой момент \(L\).

Момент инерции \(I\) для тонкого обруча можно рассчитать следующим образом:
\[I = m \cdot r^2,\]
где \(m\) - масса обруча и \(r\) - радиус обруча.

Таким образом, угловой момент будет равен:
\[L = m \cdot r^2 \cdot \omega.\]

Трение скольжения между обручем и столом вызывает радиальную силу трения \(F_{\text{трения}} = \mu \cdot m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(\mu\) - коэффициент трения скольжения. Радиальная сила трения создаёт угловой момент по отношению к нижней точке обруча:
\[L = F_{\text{трения}} \cdot r.\]

Приравниваем выражения для углового момента, чтобы найти скорость вращения \(\omega\):
\[m \cdot r^2 \cdot \omega = \mu \cdot m \cdot g \cdot r.\]
Сокращаем массу и радиус:
\[r \cdot \omega = \mu \cdot g \cdot r.\]
Отсюда получаем выражение для \(\omega\):
\[\omega = \mu \cdot g.\]

Теперь перейдём ко второму типу движения - движению по прямой после вращения. Поскольку у нас нет внешних сил, работа на обруче будет равна нулю:
\[A = 0.\]
Но с другой стороны, работа, совершенная силой трения, будет равна изменению кинетической энергии, которая в данном случае равна:
\[A = \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_0^2,\]
где \(v_0\) - начальная скорость броска обруча, а \(v_1\) - скорость обруча в конечной точке.

Так как \(v_1 = \frac{v_0}{3}\), можем записать:
\[A = \frac{1}{2} m \left(\frac{v_0}{3}\right)^2 - \frac{1}{2} m v_0^2.\]
Упрощая это выражение, получаем:
\[A = -\frac{8}{18} m v_0^2 = -\frac{4}{9} m v_0^2.\]

Таким образом, работа равна нулю и работа равна \(-\frac{4}{9} m v_0^2\).

Теперь мы можем использовать теорему о работе и кинетической энергии для расчёта максимального расстояния \(D_0\), к которому достигает обруч:
\[A = \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = -\frac{4}{9} m v_0^2.\]
\[D_0 \cdot f_{\text{трения}} = -\frac{4}{9} m v_0^2,\]
где \(f_{\text{трения}}\) - сила трения скольжения обруча о стол.

Трение скольжения \(f_{\text{трения}}\) можно найти, используя трение скольжения между обручем и столом:
\[f_{\text{трения}} = \mu \cdot m \cdot g.\]

Подставляем это выражение:
\[D_0 \cdot \mu \cdot m \cdot g = -\frac{4}{9} m v_0^2.\]
Сокращаем массу и упрощаем:
\[D_0 \cdot \mu \cdot g = -\frac{4}{9} v_0^2.\]

Зная, что время полёта \(t\) равно удвоенному времени подъёма \(t_0\), можно использовать уравнение движения:
\[D_0 = v_0 \cdot t,\]
что можно переписать в виде:
\[D_0 = v_0 \cdot 2t_0.\]

Теперь нам нужно найти выражение для времени подъёма \(t_0\). Это можно сделать, используя закон сохранения механической энергии. Начальная потенциальная энергия обруча будет равна его начальной кинетической энергии:
\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v_0^2,\]
где \(h\) - высота подъёма.

Решаем это выражение относительно \(h\):
\[h = \frac{1}{2} v_0^2 / g.\]

Зная, что время подъёма связано с высотой подъёма следующим соотношением:
\[t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]
Подставляем значение \(h\):
\[t_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{1}{2} v_0^2 / g}{g}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}} = \frac{v_0}{g}.\]

Теперь мы можем записать \(D_0\) в виде:
\[D_0 = v_0 \cdot 2t_0 = v_0 \cdot 2 \cdot \frac{v_0}{g} = \frac{2v_0^2}{g}.\]

Теперь полученное значение \(D_0\) подставляем в уравнение, которое мы получили ранее:
\[\frac{2v_0^2}{g} \cdot \mu \cdot g = -\frac{4}{9} v_0^2,\]
и упрощаем это уравнение:
\[2\mu = -\frac{4}{9}.\]
Таким образом, мы получаем итоговый ответ:
\[\mu = -\frac{2}{9}.\]

Итак, максимальное расстояние, которое достигает обруч, равно \(\frac{2v_0^2}{g}\), а коэффициент трения скольжения \(\mu\) равен \(-\frac{2}{9}\).

2) Чтобы найти отношение между временем возврата и временем удаления обруча, мы можем использовать выражение для \(D_0\) и соотношение между ними:
\[\frac{t_{\text{возврат}}}{t_{\text{удаление}}} = \frac{D_0}{D_0 - D_{\text{удаление}}},\]
где \(D_{\text{удаление}}\) - расстояние, на котором обруч удаляется от точки броска.

Мы уже знаем значение \(D_0\) из предыдущего вопроса и можем использовать его здесь. Если обруч откатывается без проскальзывания и скользит без трения, то \(D_{\text{удаление}}\) равно половине периметра обруча:
\[D_{\text{удаление}} = \pi d,\]
где \(d\) - диаметр обруча.

Теперь мы можем записать выражение для отношения времен:
\[\frac{t_{\text{возврат}}}{t_{\text{удаление}}} = \frac{D_0}{D_0 - D_{\text{удаление}}} = \frac{\frac{2v_0^2}{g}}{\frac{2v_0^2}{g} - \pi d}.\]

Таким образом, отношение между временем возврата и временем удаления обруча равно \(\frac{\frac{2v_0^2}{g}}{\frac{2v_0^2}{g} - \pi d}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что для получения точного числового ответа необходимо знать значения \(v_0\) и \(d\). В данном случае мы предоставили общую формулу отношения между временем возврата и временем удаления.