Какое расстояние Δh сдвинулся поршень вниз после охлаждения одноатомного газа в равновесии в вертикальном гладком

Skvoz_Holmy_1990

63

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который устанавливает пропорциональность между объемом газа и его давлением при постоянной температуре:

\[ P_1V_1 = P_2V_2 \]

где \( P_1 \) и \( P_2 \) - начальное и конечное давление газа (соответственно), а \( V_1 \) и \( V_2 \) - начальный и конечный объем газа (соответственно).

В данном случае, начальный объем \( V_1 \) равен произведению площади поршня \( S \) на его исходное положение \( h_1 \), а конечный объем \( V_2 \) равен произведению площади поршня \( S \) на его конечное положение \( h_2 \). Таким образом, мы можем переписать закон Бойля-Мариотта следующим образом:

\[ P_1 \cdot S \cdot h_1 = P_2 \cdot S \cdot h_2 \]

Начальное давление \( P_1 \) равно сумме внешнего атмосферного давления \( P_0 \) и давления, создаваемого массой поршня \( P_m \):

\[ P_1 = P_0 + P_m \]

В данном случае, масса поршня \( P_m \) равна произведению его массы \( m \) на ускорение свободного падения \( g \):

\[ P_m = m \cdot g \]

Значение ускорения свободного падения \( g \) составляет около \( 9,8 \, м/с^2 \).

Также, мы знаем, что давление газа после охлаждения равно сумме внешнего атмосферного давления \( P_0 \) и давления, создаваемого изменением температуры \( \Delta T \). Так как изменение температуры \( \Delta T \) отрицательно (температура снизилась), соответствующее изменение давления \( \Delta P \) также будет отрицательным:

\[ P_2 = P_0 + \Delta P \]

Из уравнения состояния идеального газа, мы знаем, что изменение давления \( \Delta P \) пропорционально изменению температуры \( \Delta T \):

\[ \frac{{\Delta P}}{{\Delta T}} = -\alpha \]

где \( \alpha \) - коэффициент давления газа при постоянном объеме. В данном случае, так как газ является одноатомным, \( \alpha \) примерно равно \( \frac{1}{{273,15}} \, Па/К \).

Теперь мы можем объединить все эти уравнения и решить задачу. Сначала найдем начальное давление:

\[ P_1 = P_0 + P_m = 10^5 + 10 \cdot 9,8 \]

\[ P_1 = 10^5 + 98 = 100098 \, Па \]

Затем найдем давление газа после охлаждения:

\[ \Delta P = \alpha \cdot \Delta T = \frac{1}{{273,15}} \cdot 32 \]

\[ \Delta P = \frac{{32}}{{273,15}} \]

\[ P_2 = P_0 + \Delta P = 10^5 - \frac{{32}}{{273,15}} \]

После этого, мы можем записать уравнение Бойля-Мариотта:

\[ P_1 \cdot S \cdot h_1 = P_2 \cdot S \cdot h_2 \]

Так как нам нужно найти сдвиг поршня вниз \( \Delta h \), мы можем выразить его в виде:

\[ \Delta h = h_1 - h_2 \]

Подставим в уравнение известные значения и найдем \(\Delta h\):

\[ (100098 \cdot 0,003) \cdot (0,003 - \Delta h) = \left(10^5 - \frac{{32}}{{273,15}}\right) \cdot 0,003 \cdot 0,003 \]

\[ (300,294 - 300,294 \cdot \Delta h) = (299,882891 - 0,01911118) \]

\[ 0,01911 \cdot \Delta h = 0,411109 \]

\[ \Delta h = \frac{{0,411109}}{{0,01911}} \]

\[ \Delta h \approx 21,5 \]

Итак, расстояние, на которое сдвинулся поршень вниз после охлаждения газа, составляет около 21,5 сантиметра. Ответ округляем до целых сантиметров, поэтому окончательный ответ составляет 22 сантиметра.