1. Какое основание системы счисления используется, чтобы записать десятичное число 100 как 55₂? 2. В системе счисления

Иванович

30

1. Чтобы записать десятичное число 100 в двоичной системе счисления (основание 2), сначала необходимо выяснить, какой максимальный степени числа 2 может быть меньше или равен 100. В данном случае, это число является 2 в степени 6 (64). Рассмотрим пошаговое решение:

Шаг 1: 100 - 64 = 36. Таким образом, у нас есть разряд 64 (2 в 6-й степени).
Шаг 2: Разделим оставшуюся сумму 36 на 32 (2 в 5-й степени). 36 - 32 = 4. Отметим разряд 32 (2 в 5-й степени).
Шаг 3: Разделим оставшуюся сумму 4 на 16 (2 в 4-й степени). 4 - 4 = 0. Отметим разряд 0 (2 в 4-й степени).
Шаг 4: Разделим оставшуюся сумму 0 на 8 (2 в 3-й степени). 0 - 0 = 0. Отметим разряд 0 (2 в 3-й степени).
Шаг 5: Разделим оставшуюся сумму 0 на 4 (2 в 2-й степени). 0 - 0 = 0. Отметим разряд 0 (2 в 2-й степени).
Шаг 6: Разделим оставшуюся сумму 0 на 2 (2 в 1-й степени). 0 - 0 = 0. Отметим разряд 0 (2 в 1-й степени).
Шаг 7: Разделим оставшуюся сумму 0 на 1 (2 в 0-й степени). 0 - 0 = 0. Отметим разряд 0 (2 в 0-й степени).

Таким образом, получаем 55₂. Основание системы счисления в данном случае равно 2.

2. Чтобы найти число в системе счисления с основанием 4, которое представляет то же количество, что и данное двузначное число в системе с основанием 5, нужно произвести следующие вычисления:

В десятичной системе:
Пусть искомое число в системе счисления с основанием 4 равно \(xy\) (где \(x\) и \(y\) - цифры).
Тогда в десятичной системе, это число может быть записано как \(4x + y\).

В системе счисления с основанием 5:
Дано число имеет две цифры и представлено как \(ab\) (где \(a\) и \(b\) - цифры).
Тогда в десятичной системе, это число может быть записано как \(5a + b\).

Из условия задачи, данное число в обоих системах счисления выражает то же количество. Таким образом, уравняем два выражения друг к другу:

\[5a + b = 4x + y\]

Поскольку дано, что исходное число двузначное, значит, \(a\) и \(b\) принадлежат множеству \(\{1, 2, 3, 4\}\). Проанализируем возможные комбинации цифр:

1. Если \(a = 1\) и \(b = 1\), то уравнение примет вид: \(5 + 1 = 4x + y\), что не имеет решений.
2. Если \(a = 1\) и \(b = 2\), то уравнение примет вид: \(5 + 2 = 4x + y\), что дает решение \(x = 1\) и \(y = 3\).
3. Если \(a = 1\) и \(b = 3\), то уравнение примет вид: \(5 + 3 = 4x + y\), что не имеет решений.
4. Если \(a = 1\) и \(b = 4\), то уравнение примет вид: \(5 + 4 = 4x + y\), что не имеет решений.
5. Если \(a = 2\) и \(b = 1\), то уравнение примет вид: \(10 + 1 = 4x + y\), что не имеет решений.
6. Если \(a = 2\) и \(b = 2\), то уравнение примет вид: \(10 + 2 = 4x + y\), что не имеет решений.
7. Если \(a = 2\) и \(b = 3\), то уравнение примет вид: \(10 + 3 = 4x + y\), что не имеет решений.
8. Если \(a = 2\) и \(b = 4\), то уравнение примет вид: \(10 + 4 = 4x + y\), что дает решение \(x = 2\) и \(y = 2\).
9. Если \(a = 3\) и \(b = 1\), то уравнение примет вид: \(15 + 1 = 4x + y\), что дает решение \(x = 4\) и \(y = 1\).
10. Если \(a = 3\) и \(b = 2\), то уравнение примет вид: \(15 + 2 = 4x + y\), что не имеет решений.
11. Если \(a = 3\) и \(b = 3\), то уравнение примет вид: \(15 + 3 = 4x + y\), что не имеет решений.
12. Если \(a = 3\) и \(b = 4\), то уравнение примет вид: \(15 + 4 = 4x + y\), что не имеет решений.
13. Если \(a = 4\) и \(b = 1\), то уравнение примет вид: \(20 + 1 = 4x + y\), что не имеет решений.
14. Если \(a = 4\) и \(b = 2\), то уравнение примет вид: \(20 + 2 = 4x + y\), что не имеет решений.
15. Если \(a = 4\) и \(b = 3\), то уравнение примет вид: \(20 + 3 = 4x + y\), что не имеет решений.
16. Если \(a = 4\) и \(b = 4\), то уравнение примет вид: \(20 + 4 = 4x + y\), что дает решение \(x = 5\) и \(y = 4\).

Таким образом, сделав перестановку цифр для двузначного числа 55₁₀ в системе с основанием 5, мы получаем число 34₁₀ в системе с основанием 4.