1. Какое полиномиальное представление имеет данное двоичное число? Какова десятичная запись этого числа? а) 1⋅2^5

Игнат

52

Хорошо, начнем с задачи номер 1.

1а. Для данного двоичного числа "1⋅2^5 + 0⋅2^4 + 0⋅2^3 + 0⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0" давайте сначала вычислим каждое слагаемое:

\(1\cdot 2^5 = 1\cdot 32 = 32\),
\(0\cdot 2^4 = 0\cdot 16 = 0\),
\(0\cdot 2^3 = 0\cdot 8 = 0\),
\(0\cdot 2^2 = 0\cdot 4 = 0\),
\(1\cdot 2^1 = 1\cdot 2 = 2\),
\(0\cdot 2^0 = 0\cdot 1 = 0\).

Теперь сложим полученные значения: \(32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 = 34\).

Поэтому двоичное число "1⋅2^5 + 0⋅2^4 + 0⋅2^3 + 0⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0" в десятичной записи равно 34.

1б. Второе число "2^5 + 2^3 + 2^0 + 2^-2 + 2^-3" также можно посчитать:

\(2^5 = 32\),
\(2^3 = 8\),
\(2^0 = 1\),
\(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\),
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).

Теперь сложим эти значения: \(32 + 8 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\).

\(32 + 8 + 1 = 41\). Затем, чтобы сложить дробные значения \(\frac{1}{4} + \frac{1}{8}\), мы можем перевести оба значения в общие знаменатели:

\(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\),
\(\frac{1}{8}\) остается без изменений.

Теперь мы можем сложить: \(\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\).

Общая сумма будет равна \(41 + \frac{3}{8}\).

Поэтому двоичное число "2^5 + 2^3 + 2^0 + 2^-2 + 2^-3" в десятичной записи равно \(41\frac{3}{8}\).

Перейдем к следующей задаче.

2а. Для проверки верности данного уравнения "15(10) = 1111(2)" надо снова преобразовать числа.

Первое число 15 в двоичной системе записывается следующим образом:

\[
15 \div 2 = 7 \quad \text{(остаток 1)}
\]
\[
7 \div 2 = 3 \quad \text{(остаток 1)}
\]
\[
3 \div 2 = 1 \quad \text{(остаток 1)}
\]
\[
1 \div 2 = 0 \quad \text{(остаток 1)}
\]

У вас остаются только остатки, которые нужно записать в обратном порядке, чтобы получить двоичное представление числа:

\( 15(10) = 1111(2) \).

Таким образом, уравнение "15(10) = 1111(2)" верно.

2б. Для проверки уравнения "1010110(2) = 84(10)" нам нужно перевести двоичное число в десятичную систему и сравнить результат.

\(1010110(2)\) в десятичной системе можно вычислить следующим образом:

\(1\cdot2^6 + 0\cdot2^5 + 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0\).

Произведения можно выразить следующим образом:

\(1\cdot2^6 = 1\cdot64 = 64\),
\(0\cdot2^5 = 0\cdot32 = 0\),
\(1\cdot2^4 = 1\cdot16 = 16\),
\(0\cdot2^3 = 0\cdot8 = 0\),
\(1\cdot2^2 = 1\cdot4 = 4\),
\(1\cdot2^1 = 1\cdot2 = 2\),
\(0\cdot2^0 = 0\cdot1 = 0\).

Теперь сложим все полученные значения: \(64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 86\).

Поэтому уравнение "1010110(2) = 84(10)" неверное.

Переходим к последней задаче.

3а. Давайте сложим двоичные числа "110100(2) + 1001(2)":

\[
\begin{align*}
&110100 \\
+ &01001 \\
\hline
&111101 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма двоичных чисел "110100(2) + 1001(2)" равна "111101".

3б. Теперь вычтем двоичные числа "110100(2) - 1001(2)":

\[
\begin{align*}
&110100 \\
- &01001 \\
\hline
&101011 \\
\end{align*}
\]

Разность двоичных чисел "110100(2) - 1001(2)" равна "101011".

3в. Выполним умножение двоичных чисел "1010(2) * 11(2)":

\[
\begin{align*}
&1010 \\
\times &11 \\
\hline
&1010 \\
+ &00000 \\
+ &1010 \\
\hline
&11110 \\
\end{align*}
\]

Произведение двоичных чисел "1010(2) * 11(2)" равно "11110".

3г. Поделим двоичные числа "10010(2) : 10(2)":

\[
\begin{align*}
&\phantom{0}10010 \\
: &\phantom{0}10 \\
\hline
&\phantom{0}101 \\
\end{align*}
\]

Частное от деления двоичных чисел "10010(2) : 10(2)" равно "101".

Я надеюсь, что ответы были полными и понятными для школьников. Если возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите.