1) Какова длина вектора ? 2) Чему равен вектор , если ? 3) Какой вектор параллелен ? 4) Какой вектор противоположен

Бублик

65

Хорошо, давайте решим задачи по теме векторов.

1) Чтобы найти длину вектора, используем формулу:
\[| \vec{AB} | = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

2) Если вектор \(\vec{AB}\) задан координатами A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), то для нахождения вектора \(\vec{AB}\) используется формула:
\(\vec{AB} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)\)

3) Чтобы найти вектор, параллельный данному вектору \(\vec{v}\), умножим координаты вектора на произвольное число \(k\):
\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

4) Чтобы найти вектор, противоположный данному вектору \(\vec{v}\), поменяем знаки его координат:
\(\vec{w} = -\vec{v}\)

5) Чтобы найти вектор, коллинеарный данному вектору \(\vec{v}\), умножим его координаты на произвольное число \(k\), неравное нулю:
\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

Теперь перейдем к следующей задаче.

2) Даны векторы \(\vec{a} = (3, -2)\) и \(\vec{b} = (-1, 2)\). Чтобы найти сумму данных векторов, просто сложим их координаты поэлементно:
\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), -2 + 2) = (2, 0)\)

3) Даны векторы \(\vec{a} = (3, -1)\) и \(\vec{b} = (-2, -6)\).

a) Чтобы узнать, являются ли данные векторы ортогональными, необходимо проверить условие \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов. Вычислим скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \cdot (-2)) + (-1 \cdot (-6)) = (-6) + 6 = 0\)

Таким образом, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ортогональны.

b) Чтобы узнать, являются ли данные векторы коллинеарными, необходимо проверить условие \(\vec{a} = k \cdot \vec{b}\), где \(k\) - произвольное число, неравное нулю. Для этого найдем соотношение между координатами векторов:

\(\frac{3}{-2} = \frac{-1}{-6}\)

Данное соотношение выполняется, поэтому векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

4) Даны точки A(-1,4) и B(0,1), C(-3,0). Чтобы найти угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), используем формулу:

\(\cos \theta = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}\)

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
\(\vec{AB} = (0 - (-1), 1 - 4) = (1, -3)\)
\(\vec{AC} = (-3 - (-1), 0 - 4) = (-2, -4)\)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \)
\( |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \)

Теперь можем вычислить угол:
\(\cos \theta = \frac{{(1 \cdot (-2)) + (-3 \cdot (-4))}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}}} = \frac{{2 + 12}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}}} = \frac{{14}}{{\sqrt{200}}} = \frac{{14 \sqrt{5}}}{{10 \sqrt{2}}} = \frac{{7 \sqrt{5}}}{{5 \sqrt{2}}}\)

Таким образом, угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен \(\theta = \arccos \left(\frac{{7 \sqrt{5}}}{{5 \sqrt{2}}}\right)\). Округлим его до ближайшего градуса.