Каков радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если дано, что ВС = 4

Ryzhik

59

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобокой трапеции и связанные с ней геометрические формулы. Давайте решим ее пошагово.

Шаг 1: Разберемся с заданием. У нас есть равнобокая трапеция ABCD, где основаниями являются отрезки AD и ВС. Мы также знаем, что BDC = 30° и BDA = 45°. Наша задача - найти радиус окружности, описанной вокруг этой трапеции, а также боковую сторону трапеции.

Шаг 2: Вспомним свойства равнобокой трапеции. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, а основания параллельны. Также, если мы нарисуем окружность, описанную вокруг трапеции, то центр этой окружности будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки пересечения диагоналей.

Шаг 3: Нарисуем треугольник ABD, который является прямоугольным, так как у нас есть угол BDA = 45°.

[image: triangleABD]

Шаг 4: Так как угол BDC = 30°, угол BAC равен 60° (так как трапеция ABCD равнобокая).

[image: triangleABC]

Шаг 5: Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник ABD, мы можем использовать связанные с ним тригонометрические соотношения.

Для нахождения боковой стороны трапеции, мы можем использовать формулу синуса:

\[\sin(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\]

В данном случае у нас уже есть противолежащая сторона (BC = 4 см) и угол (60°), и нам нужно найти гипотенузу (боковую сторону трапеции).

\[AB = \frac{BC}{\sin(\text{угол})} = \frac{4}{\sin(60°)} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62\, \text{см}\]

Шаг 6: Теперь давайте найдем радиус окружности, описанной вокруг трапеции.

Так как центр этой окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из точки пересечения диагоналей, мы можем использовать высоту трапеции (расстояние от центра окружности до основания трапеции) для нахождения радиуса окружности. Расстояние от центра до основания трапеции равно половине боковой стороны.

\[R = \frac{AB}{2} = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31\, \text{см}\]

Итак, радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции ABCD, составляет приблизительно 2.31 см, а боковая сторона этой трапеции составляет приблизительно 4.62 см.