1. Какова минимальная высота, с которой небольшая шайба должна начать скользить по гладкому желобу, чтобы она прошла

Pechenka_2211

30

1. Чтобы определить минимальную высоту, с которой шайба должна начинать скользить по гладкому желобу, чтобы она прошла всю "мертвую петлю" радиусом 20 см, не отрываясь от желоба, нам понадобится использовать законы сохранения энергии.

Изначально у шайбы есть только потенциальная энергия, равная произведению ее массы на ускорение свободного падения \( m \cdot g \) и высоте, с которой она начинает движение. По мере движения по желобу, эта потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию, равную \( \frac{1}{2} m \cdot v^2 \), где \( v \) - скорость шайбы.

В верхней точке "мертвой петли" всю потенциальную энергию шайба превращает в кинетическую энергию, поскольку потенциальная энергия равна нулю. Таким образом, можно записать уравнение:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \]

где \( h \) - высота, с которой начинает движение шайба, \( v \) - скорость шайбы и \( g \) - ускорение свободного падения.

Теперь нужно найти скорость шайбы в верхней точке "мертвой петли". Для этого можно использовать закон сохранения механической энергии:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v^2 + m \cdot g \cdot R \]

где \( R \) - радиус мертвой петли.

Подставляя значения \( m = 100 \) г, \( g \approx 9.8 \) м/с\(^2\), \( R = 0.2 \) м, получаем:

\[ 100 \cdot 9.8 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot v^2 + 100 \cdot 9.8 \cdot 0.2 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 980h = 50v^2 + 196 \]

Теперь нужно найти скорость \( v \) шайбы в верхней точке "мертвой петли". Можно использовать закон сохранения энергии между двумя точками на пути шайбы: начальной точкой, где есть только потенциальная энергия, и верхней точкой, где энергия состоит только из кинетической энергии:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \]

Подставляя значения \( m = 100 \) г и \( g \approx 9.8 \) м/с\(^2\), получаем:

\[ 980h = 50v^2 \]

Теперь можно найти \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{980h}{50}} = \sqrt{19.6h} \]

Теперь подставляем это значение в первое уравнение:

\[ 980h = 50(\sqrt{19.6h})^2 + 196 \]

Упрощаем:

\[ 980h = 50 \cdot 19.6h + 196 \]

\[ 980h = 980h + 196 \]

\[ 0 = 196 \]

Уравнение не имеет решения. Получается, что нет такой высоты, с которой шайба могла бы начать скольжение по гладкому желобу, чтобы проходить всю "мертвую петлю" радиусом 20 см, не отрываясь от желоба. Это связано с тем, что сила нормальной реакции в верхней точке мертвой петли должна быть нулевой, чтобы избежать отрывания шайбы от желоба, но для этого необходимо, чтобы сумма сил в верхней точке была равна нулю, а это невозможно.

2. Чтобы найти силу давления желоба на шайбу в верхней точке мертвой петли, сначала нужно найти силу тяжести, действующую на шайбу. Она равна произведению массы шайбы на ускорение свободного падения и высоту падения шайбы:

\[ F_{\text{тяж}} = m \cdot g \cdot h \]

где \( m \) - масса шайбы (в данном случае 100 г), \( g \) - ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с\(^2\)), \( h \) - высота падения шайбы (50 см).

Далее, чтобы найти силу давления желоба на шайбу в верхней точке мертвой петли, вычитаем силу тяжести из равнодействующей силы, действующей на шайбу в этой точке. Так как шайба не отрывается от желоба, равнодействующая сила должна быть направлена вверх и равняться \( F_{\text{движ}} - F_{\text{тяж}} \), где \( F_{\text{движ}} \) - сила давления желоба на шайбу.

Таким образом, сила давления желоба на шайбу в верхней точке мертвой петли равна:

\[ F_{\text{движ}} = F_{\text{тяж}} + F_{\text{давл}} \]

где \( F_{\text{давл}} \) - сила давления.

Подставляя известные значения, получаем:

\[ F_{\text{движ}} = (0.1 \, \text{кг}) \cdot (9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (0.5 \, \text{м}) \]

\[ F_{\text{движ}} = 0.49 \, \text{Н} \]

Таким образом, сила давления желоба на шайбу в верхней точке мертвой петли равна 0.49 Н.