1) Какова площадь вписанного круга и длина окружности, ограничивающей его, для круга, вписанного в около правильного

Сузи

52

1) Для нахождения площади вписанного круга и длины окружности, ограничивающей его, необходимо использовать свойства правильного треугольника и формулы для нахождения этих характеристик.

Радиус вписанного круга в правильном треугольнике равен половине длины стороны треугольника. Так как радиус треугольника равен \(4\sqrt{3}\), то радиус вписанного круга будет равен \(\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Теперь мы можем найти площадь вписанного круга по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:

\[S = \pi (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi.\]

Таким образом, площадь вписанного круга равна \(12\pi\).

Длина окружности, ограничивающей вписанный круг, можно найти по формуле \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:

\[C = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}.\]

Таким образом, длина окружности, ограничивающей вписанный круг, равна \(4\pi\sqrt{3}\).

2) Для нахождения площади круга по заданным данным необходимо использовать свойства окружности и формулы для нахождения площади.

Для начала заметим, что угол АОВ равен 120 градусов. Так как полный угол в окружности равен 360 градусов, угол АВО равен \(\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\) от полного угла.

Длина дуги АВ составляет 8п. Так как длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности, то мы можем записать равенство:

\[8\pi = 2\pi r \cdot \frac{1}{3}.\]

Разделим обе части на \(\pi\) и упростим:

\[8 = \frac{2r}{3}.\]

Умножим обе части на 3:

\[24 = 2r.\]

Разделим обе части на 2:

\[12 = r.\]

Таким образом, радиус круга равен 12.

Теперь мы можем найти площадь круга по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:

\[S = \pi \cdot 12^2 = 144\pi.\]

Таким образом, площадь круга равна \(144\pi\).