1) Какова площадь вписанного круга и длина окружности, ограничивающей его, для круга, вписанного в около правильного
1) Какова площадь вписанного круга и длина окружности, ограничивающей его, для круга, вписанного в около правильного треугольника радиусом 4 корня из 3?
2) Известно, что угол АОВ равен 120 градусов, а длина дуги АВ составляет 8п. Какова площадь круга?
2) Известно, что угол АОВ равен 120 градусов, а длина дуги АВ составляет 8п. Какова площадь круга?
Сузи 52
1) Для нахождения площади вписанного круга и длины окружности, ограничивающей его, необходимо использовать свойства правильного треугольника и формулы для нахождения этих характеристик.Радиус вписанного круга в правильном треугольнике равен половине длины стороны треугольника. Так как радиус треугольника равен \(4\sqrt{3}\), то радиус вписанного круга будет равен \(\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).
Теперь мы можем найти площадь вписанного круга по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:
\[S = \pi (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi.\]
Таким образом, площадь вписанного круга равна \(12\pi\).
Длина окружности, ограничивающей вписанный круг, можно найти по формуле \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:
\[C = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}.\]
Таким образом, длина окружности, ограничивающей вписанный круг, равна \(4\pi\sqrt{3}\).
2) Для нахождения площади круга по заданным данным необходимо использовать свойства окружности и формулы для нахождения площади.
Для начала заметим, что угол АОВ равен 120 градусов. Так как полный угол в окружности равен 360 градусов, угол АВО равен \(\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\) от полного угла.
Длина дуги АВ составляет 8п. Так как длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности, то мы можем записать равенство:
\[8\pi = 2\pi r \cdot \frac{1}{3}.\]
Разделим обе части на \(\pi\) и упростим:
\[8 = \frac{2r}{3}.\]
Умножим обе части на 3:
\[24 = 2r.\]
Разделим обе части на 2:
\[12 = r.\]
Таким образом, радиус круга равен 12.
Теперь мы можем найти площадь круга по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Подставляя значение радиуса, получаем:
\[S = \pi \cdot 12^2 = 144\pi.\]
Таким образом, площадь круга равна \(144\pi\).