1. Какова скорость лифта через 5 секунд после включения, если его перемещение описывается функцией s(t) = t^2+2t+12?
1. Какова скорость лифта через 5 секунд после включения, если его перемещение описывается функцией s(t) = t^2+2t+12?
2. Если лыжник, спускаясь с горы, движется по функции s(t) = 0,5t^2-t, то каковы его скорость и ускорение в момент времени t=3 с? Как можно охарактеризовать это движение?
2. Если лыжник, спускаясь с горы, движется по функции s(t) = 0,5t^2-t, то каковы его скорость и ускорение в момент времени t=3 с? Как можно охарактеризовать это движение?
Звёздочка 11
Задача 1:Для решения этой задачи мы должны найти производную функции \( s(t) \), чтобы получить уравнение, описывающее скорость лифта в момент времени \( t \).
Итак, чтобы найти производную функции \( s(t) = t^2+2t+12 \), мы применяем правило дифференцирования для каждого члена функции. Дифференцируя \( t^2 \), мы получаем \( 2t \), дифференцируя \( 2t \), получаем \( 2 \), и дифференцируя \( 12 \), получаем \( 0 \). Таким образом, производная функции \( s(t) \) равна \( 2t + 2 \).
Теперь мы можем найти скорость лифта через 5 секунд после включения, подставив значение \( t = 5 \) в уравнение производной:
\[ s"(5) = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12 \]
Таким образом, скорость лифта через 5 секунд после включения составляет 12 единиц времени (единицу времени мы не указали в задаче).
Задача 2:
Для нахождения скорости и ускорения лыжника в момент времени \( t = 3 \) секунды, мы также должны найти производные функции \( s(t) \).
Производная функции \( s(t) = 0,5t^2 - t \) даст нам скорость лыжника, а вторая производная даст нам ускорение.
Дифференцируя \( 0,5t^2 \), мы получаем \( t \), а у дифференцирования \( -t \) результат будет \( -1 \). Таким образом, первая производная функции \( s(t) \) равна \( t - 1 \).
Чтобы найти скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды, мы подставляем это значение в уравнение производной:
\[ s"(3) = 3 - 1 = 2 \]
Таким образом, скорость лыжника в момент времени \( t = 3 \) секунд составляет 2 единицы времени (опять же, единицу времени мы не указали в задаче).
Для нахождения ускорения мы должны продолжить дифференцирование. Дифференцируя \( t - 1 \), мы получаем \( 1 \). Таким образом, вторая производная функции \( s(t) \) равна константе \( 1 \).
Из этого следует, что ускорение лыжника постоянно и равно 1 (единице времени) в любой момент времени.
Что касается характеристики движения, мы можем сказать, что ускорение равно 1, что означает, что скорость лыжника растет на 1 единицу времени каждую секунду. Это показывает, что движение лыжника является ускоренным.
Давайте проверим, всё ли понятно в решении задач.