1. Какова вероятность получить три акций банкротов из семи купленных, если из 20 акционерных обществ пять являются

Арбуз

47

Решение:
1. Для нахождения вероятности получить три акции банкротов из семи купленных, нам необходимо воспользоваться комбинаторикой и принципом умножения.
Поскольку из 20 акционерных обществ пять являются банкротами, а оставшиеся пятнадцать - нет, у нас есть два случая: купить три акции банкротов из пяти возможных, и купить четыре акции не-банкротов из пятнадцати возможных.
Вероятность купить три акции банкротов из пяти можно вычислить следующим образом:
\[\frac{{C_3^5}}{{C_3^7}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{7 \cdot 6 \cdot 5}} = \frac{3}{7}\]
Вероятность купить четыре акции не-банкротов из пятнадцати можно вычислить следующим образом:
\[\frac{{C_4^{15}}}{{C_4^{7}}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{91}}{143}\]
Так как это два независимых события (мы не возвращаем акции обратно после покупки), мы можем применить принцип умножения и умножить эти вероятности:
\[\frac{3}{7} \cdot \frac{91}{143} = \frac{273}{1001}\]
Итак, вероятность получить три акции банкротов из семи купленных составляет \(\frac{273}{1001}\).

2. Чтобы определить вероятность выбора бракованной лампы, мы должны учесть вероятность брака для каждого из трех заводов и их доли продукции на прилавках магазина.
Пусть \(P(A_1)\), \(P(A_2)\) и \(P(A_3)\) - вероятности выбрать бракованную лампу с первого, второго и третьего завода соответственно. Тогда вероятность выбора лампы производства каждого завода составит:
\(P(A_1) = 0.05\), \(P(A_2) = 0.02\), \(P(A_3) = 0.03\).
При этом доли продукции на прилавках магазина следующие: 3/10 от первого завода, 2/10 от второго завода и 5/10 от третьего завода.
Используя принцип умножения, можно вычислить искомую вероятность:
\[P(A) = P(A_1) \cdot P(\text{от первого завода}) + P(A_2) \cdot P(\text{от второго завода}) + P(A_3) \cdot P(\text{от третьего завода})\]
\[P(A) = 0.05 \cdot \frac{3}{10} + 0.02 \cdot \frac{2}{10} + 0.03 \cdot \frac{5}{10} = 0.035\]
Итак, вероятность выбора бракованной лампы составляет 0.035.

3. Для определения вероятности, что из трех накладных только две оформлены правильно, нам необходимо применить комбинаторику и принцип умножения. Дано, что вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0.8.
Пусть \(P(A)\) - вероятность правильного оформления накладной, а \(P(\overline{A})\) - вероятность неправильного оформления накладной. Тогда вероятность, что из трех накладных только две оформлены правильно, можно представить в виде:
\[P(\text{ровно 2 правильные накладные}) = P(A) \cdot P(A) \cdot P(\overline{A}) + P(A) \cdot P(\overline{A}) \cdot P(A) + P(\overline{A}) \cdot P(A) \cdot P(A)\]
\[P(\text{ровно 2 правильные накладные}) = 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 + 0.8 \cdot 0.2 \cdot 0.8 + 0.2 \cdot 0.8 \cdot 0.8\]
\[P(\text{ровно 2 правильные накладные}) = 3 \cdot 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2\]
\[P(\text{ровно 2 правильные накладные}) = 0.384\]
Также необходимо найти вероятность хотя бы одной правильно оформленной накладной.
Это означает, что все три накладные правильно выполнены, либо две накладные правильно выполнены, либо одна накладная правильно выполнена.
Вероятность правильного оформления одной накладной: \(P(A) = 0.8\).
Вероятность неправильного оформления одной накладной: \(P(\overline{A}) = 0.2\).
Вероятность хотя бы одной правильно оформленной накладной:
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 1 - P(\text{все неправильные накладные})\]
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 1 - P(\text{ровно 3 неправильные накладные})\]
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 1 - 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2\]
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 1 - 0.008\]
\[P(\text{хотя бы одна правильная накладная}) = 0.992\]

Итак, вероятность, что из трех накладных только две оформлены правильно, составляет 0.384, а вероятность хотя бы одной правильно оформленной накладной - 0.992.