1. Каково значение первой космической скорости для планеты, у которой масса в 4 раза больше, а радиус в 4 раза меньше

Milana

28

1. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для расчета первой космической скорости:

\[v_1 = \sqrt{\frac{{2GM}}{{r}}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(r\) - радиус планеты.

Для нашей планеты, у которой масса в 4 раза больше и радиус в 4 раза меньше, чем у Земли, мы можем выразить массу и радиус в зависимости от соответствующих величин Земли:

\(M = 4M_{\Earth}\) и \(r = \frac{1}{4}r_{\Earth}\),

где \(M_{\Earth}\) и \(r_{\Earth}\) - масса и радиус Земли соответственно.

Теперь, подставив эти значения в формулу, мы получим:

\[v_1 = \sqrt{\frac{{2G(4M_{\Earth})}}{{\frac{1}{4}r_{\Earth}}}}\]

Упрощая, получим:

\[v_1 = \sqrt{32}\sqrt{\frac{{GM_{\Earth}}}{{r_{\Earth}}}}\]

Так как нам даны значения для Земли, то положим \(\sqrt{\frac{{GM_{\Earth}}}{{r_{\Earth}}}} = v_{1\Earth}\). Тогда первая космическая скорость для данной планеты будет равна:

\[v_1 = \sqrt{32}v_{1\Earth}\]

Теперь давайте найдем значение второй космической скорости для этой планеты. Вторая космическая скорость для любой планеты рассчитывается по формуле:

\[v_2 = 2v_1\]

Таким образом, вторая космическая скорость для данной планеты будет равна:

\[v_2 = 2 \cdot \sqrt{32}v_{1\Earth}\]

2. Для расчета большой полуоси орбиты планеты Плутон мы можем использовать третий закон Кеплера:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{GM_{\Sun}}}\]

где \(T\) - период обращения планеты, \(r\) - большая полуось орбиты планеты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{\Sun}\) - масса Солнца.

Для Плутона известен период обращения вокруг Солнца, который составляет 248 лет. Подставив это значение, а также известные физические константы в формулу, мы можем решить ее для периода обращения:

\[248^2 = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{GM_{\Sun}}}\]

Теперь давайте найдем значение большой полуоси орбиты \(r\). Для этого мы можем переписать формулу:

\[r^3 = \frac{{(248)^2 \cdot GM_{\Sun}}}{{4\pi^2}}\]

Затем извлечем кубический корень:

\[r = \sqrt[3]{\frac{{(248)^2 \cdot GM_{\Sun}}}{{4\pi^2}}}\]

3. Чтобы найти значение второй космической скорости для Луны, мы можем использовать ту же формулу, что и ранее:

\[v_2 = 2v_1\]

Но теперь нам нужно знать значения \(v_1\), массы Луны и ее радиуса. Для удобства мы можем использовать данные для Земли, поскольку первая космическая скорость зависит только от массы планеты и ее радиуса. Таким образом, для Луны:

\[v_{1\Luna} = v_{1\Earth}\]

Подставив это значение в формулу для второй космической скорости, получим:

\[v_{2\Luna} = 2v_{1\Earth}\]

4. Для определения точки орбиты планеты, где потенциальная энергия является максимальной, мы должны знать формулу потенциальной энергии планеты на определенном расстоянии от центра притягивающего тела.

Формула для потенциальной энергии может быть записана следующим образом:

\[U = -\frac{{GMm}}{{r}}\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(m\) - масса объекта, \(r\) - расстояние между центром планеты и объектом.

На расстоянии \(r\) от центра планеты потенциальная энергия будет максимальной, если \(r\) будет наибольшим.

Таким образом, точка орбиты планеты, где потенциальная энергия является максимальной, будет наиболее удаленной точкой от центра планеты.

5. Чтобы найти период обращения астероида Лютеция, используем третий закон Кеплера:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{GM}}\]

где \(T\) - период обращения, \(r\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли.

Известно, что большая полуось орбиты астероида Лютеция равна определенному значению. Подставив известные значения в формулу, получим:

\[(T_{\Lutece})^2 = \frac{{4\pi^2 r_{\Lutece}^3}}{{GM}}\]

Теперь мы можем найти период обращения астероида Лютеция, взяв квадратный корень от обеих сторон:

\[T_{\Lutece} = \sqrt{\frac{{4\pi^2 r_{\Lutece}^3}}{{GM}}}\]