№1 Каковы сторона квадрата и радиус вписанной окружности, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Тигрёнок

50

Задача №1:
Пусть сторона квадрата равна $a$, а радиус вписанной окружности равен $r$. Также, известно, что радиус окружности, описанной около квадрата, равен $5\sqrt{2}$ см.

У квадрата радиус окружности, описанной около него, всегда равен половине длины диагонали. Поэтому, диагональ квадрата равна $2r$.
Также, сторона квадрата равна длине диагонали, деленной на $\sqrt{2}$. Имеем уравнение $a=\frac{2r}{\sqrt{2}}$.

На основе данной информации можно написать систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}a=\frac{2r}{\sqrt{2}}\\ 2r=5\sqrt{2}\end{array}$$

Решая данную систему, найдем значения стороны квадрата и радиуса вписанной окружности:

1) Подставляем значение $2r$ из второго уравнения в первое:
$$a=\frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=10$$

Ответ: сторона квадрата $a=10$ см, радиус вписанной окружности $r=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$ см.

Задача №2:
Пусть сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $a$, а сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна $\sqrt{6}$ см.

У правильного треугольника радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. Так как каждая сторона треугольника является основанием равнобедренного треугольника, то высота проходит через середину стороны и перпендикулярна стороне. Значит, высота является медианой и делит сторону треугольника на две равные части. Поэтому, половина стороны треугольника равна $\frac{a}{2}$.

Также, сторона треугольника равна длине радиуса окружности, вписанной в него.
Имеем уравнение $\frac{a}{2}=\sqrt{6}$.

Решая данное уравнение, найдем значение стороны квадрата:

2) Умножаем обе части уравнения на 2:
$$a=2\sqrt{6}$$

Ответ: сторона квадрата $a=2\sqrt{6}$ см.

Задача №3:
Пусть $r_1$ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, а $r_2$ - радиус окружности, описанной около него.

Из условия задачи известно, что разность радиусов этих окружностей равна $r_2-r_1$.

Для правильного треугольника известно, что радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. А радиус окружности, описанной около него, равен длине стороны треугольника.

Имеем уравнение:
$$r_2-r_1=\frac{1}{3}\cdot a$$

Ответ: Разность радиусов окружностей, вписанной в правильный треугольник, и окружности, описанной около него, выражается формулой $r_2-r_1=\frac{1}{3}\cdot a$.