№1 Каковы сторона квадрата и радиус вписанной окружности, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Тигрёнок

50

Задача №1:
Пусть сторона квадрата равна \( a \), а радиус вписанной окружности равен \( r \). Также, известно, что радиус окружности, описанной около квадрата, равен \( 5\sqrt{2} \) см.

У квадрата радиус окружности, описанной около него, всегда равен половине длины диагонали. Поэтому, диагональ квадрата равна \( 2r \).
Также, сторона квадрата равна длине диагонали, деленной на \( \sqrt{2} \). Имеем уравнение \( a = \frac{2r}{\sqrt{2}} \).

На основе данной информации можно написать систему уравнений:
\[
\begin{cases}
a = \frac{2r}{\sqrt{2}} \\
2r = 5\sqrt{2}
\end{cases}
\]

Решая данную систему, найдем значения стороны квадрата и радиуса вписанной окружности:

1) Подставляем значение \( 2r \) из второго уравнения в первое:
\[
a = \frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 10
\]

Ответ: сторона квадрата \( a = 10 \) см, радиус вписанной окружности \( r = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \) см.

Задача №2:
Пусть сторона квадрата, вписанного в окружность, равна \( a \), а сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна \( \sqrt{6} \) см.

У правильного треугольника радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. Так как каждая сторона треугольника является основанием равнобедренного треугольника, то высота проходит через середину стороны и перпендикулярна стороне. Значит, высота является медианой и делит сторону треугольника на две равные части. Поэтому, половина стороны треугольника равна \( \frac{a}{2} \).

Также, сторона треугольника равна длине радиуса окружности, вписанной в него.
Имеем уравнение \( \frac{a}{2} = \sqrt{6} \).

Решая данное уравнение, найдем значение стороны квадрата:

2) Умножаем обе части уравнения на 2:
\[
a = 2\sqrt{6}
\]

Ответ: сторона квадрата \( a = 2\sqrt{6} \) см.

Задача №3:
Пусть \( r_1 \) - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, а \( r_2 \) - радиус окружности, описанной около него.

Из условия задачи известно, что разность радиусов этих окружностей равна \( r_2 - r_1 \).

Для правильного треугольника известно, что радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. А радиус окружности, описанной около него, равен длине стороны треугольника.

Имеем уравнение:
\[
r_2 - r_1 = \frac{1}{3} \cdot a
\]

Ответ: Разность радиусов окружностей, вписанной в правильный треугольник, и окружности, описанной около него, выражается формулой \( r_2 - r_1 = \frac{1}{3} \cdot a \).