№1 Каковы сторона квадрата и радиус вписанной окружности, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен

  • 30
№1 Каковы сторона квадрата и радиус вписанной окружности, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен 5 корень из 2 см?
№2 Какова сторона квадрата, вписанного в окружность, если сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна корень 6 см?
№3 Если разность радиусов окружностей, вписанной в правильный треугольник, и окружности, описанной около него, равна, то как найти их радиусы?
Тигрёнок
50
Задача №1:
Пусть сторона квадрата равна a, а радиус вписанной окружности равен r. Также, известно, что радиус окружности, описанной около квадрата, равен 52 см.

У квадрата радиус окружности, описанной около него, всегда равен половине длины диагонали. Поэтому, диагональ квадрата равна 2r.
Также, сторона квадрата равна длине диагонали, деленной на 2. Имеем уравнение a=2r2.

На основе данной информации можно написать систему уравнений:
{a=2r22r=52

Решая данную систему, найдем значения стороны квадрата и радиуса вписанной окружности:

1) Подставляем значение 2r из второго уравнения в первое:
a=2(52)2=10

Ответ: сторона квадрата a=10 см, радиус вписанной окружности r=522=5 см.

Задача №2:
Пусть сторона квадрата, вписанного в окружность, равна a, а сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна 6 см.

У правильного треугольника радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. Так как каждая сторона треугольника является основанием равнобедренного треугольника, то высота проходит через середину стороны и перпендикулярна стороне. Значит, высота является медианой и делит сторону треугольника на две равные части. Поэтому, половина стороны треугольника равна a2.

Также, сторона треугольника равна длине радиуса окружности, вписанной в него.
Имеем уравнение a2=6.

Решая данное уравнение, найдем значение стороны квадрата:

2) Умножаем обе части уравнения на 2:
a=26

Ответ: сторона квадрата a=26 см.

Задача №3:
Пусть r1 - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, а r2 - радиус окружности, описанной около него.

Из условия задачи известно, что разность радиусов этих окружностей равна r2r1.

Для правильного треугольника известно, что радиус окружности, вписанной в него, равен трети длины высоты. А радиус окружности, описанной около него, равен длине стороны треугольника.

Имеем уравнение:
r2r1=13a

Ответ: Разность радиусов окружностей, вписанной в правильный треугольник, и окружности, описанной около него, выражается формулой r2r1=13a.