1. Какой будет пройденный путь точкой за первые 2 секунды движения, если уравнение зависимости линейной скорости

Иванович

27

Для решения первой задачи, нам дано уравнение зависимости линейной скорости от времени:
\[v = at^2 + yt\]

Для определения пройденного пути за первые 2 секунды движения, нам необходимо проинтегрировать данное уравнение по времени, чтобы получить зависимость пути от времени.

Интегрируя уравнение скорости по времени от 0 до 2, получаем:

\[s = \int_0^2 v \, dt = \int_0^2 (at^2 + yt) \, dt\]

\[s = \frac{1}{3}at^3 + \frac{1}{2}yt^2 \Bigg|_0^2\]

Подставляя значения a = 5 м/с^3 и y = 3 м/с^2:

\[s = \frac{1}{3}(5)(2)^3 + \frac{1}{2}(3)(2)^2 - \frac{1}{3}(5)(0)^3 + \frac{1}{2}(3)(0)^2\]

\[s = \frac{40}{3} + 6 - 0 + 0\]

\[s = \frac{58}{3} \, \text{м}\]

Таким образом, точка пройдет путь в \(\frac{58}{3}\) метра за первые 2 секунды движения.

Для решения второй задачи, нам дано уравнение скорости точки:
\[v(t) = ati + bt^2j\]

а) Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени t = 2 секунды, нам необходимо вычислить длину вектора скорости в этот момент времени. Для этого воспользуемся формулой длины вектора скорости:

\[|v(2)| = \sqrt{(ati)^2 + (bt^2j)^2}\]

Подставляем значения a = 2 м/с^2, b = 1 м/с^3 и t = 2 секунды:

\[|v(2)| = \sqrt{(2 \cdot 2 \cdot 2)^2 + (1 \cdot (2)^2)^2}\]

\[|v(2)| = \sqrt{32 + 16}\]

\[|v(2)| = \sqrt{48} \approx 6.928 \, \text{м/с}\]

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени t = 2 секунды составляет около 6.928 м/с.

б) Чтобы найти перемещение точки за первые 2 секунды движения, нам необходимо проинтегрировать уравнение скорости по времени от 0 до 2:

\[s = \int_0^2 v(t) \, dt = \int_0^2 (ati + bt^2j) \, dt\]

\[s = \int_0^2 (2ti + t^2j) \, dt\]

\[s = \left[\int_0^2 (2ti) \, dt\right]i + \left[\int_0^2 (t^2j) \, dt\right]\]

\[s = \left[ti^2\right]_0^2 + \left[\frac{1}{3}t^3j\right]_0^2\]

Подставляем значения t = 2 секунды:

\[s = (2 \cdot 2 \cdot i^2) - (0 \cdot i^2) + \left(\frac{1}{3}(2)^3j\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3j\right)\]

\[s = 4i + \frac{8}{3}j - 0i - 0j\]

\[s = 4i + \frac{8}{3}j\]

Таким образом, перемещение точки за первые 2 секунды движения составляет 4 метра вдоль оси i и \(\frac{8}{3}\) метра вдоль оси j.

Для решения третьей задачи, нам дано, что ускорение линейно растет и достигает значения 5 м/с^2 за первые t секунды движения.

а) Чтобы определить скорость точки в конце 10-й секунды движения, нам необходимо интегрировать ускорение по времени от 0 до 10:

\[v = \int_0^{10} a \, dt = \int_0^{10} 5 \, dt\]

\[v = 5t \Bigg|_0^{10}\]

\[v = 5(10) - 5(0)\]

\[v = 50 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость точки в конце 10-й секунды движения равна 50 м/с.

б) Чтобы определить пройденный точкой путь, нам необходимо интегрировать скорость по времени от 0 до 10:

\[s = \int_0^{10} v \, dt = \int_0^{10} 5t \, dt\]

\[s = \frac{1}{2}at^2 \Bigg|_0^{10}\]

\[s = \frac{1}{2}(5)(10)^2 - \frac{1}{2}(5)(0)^2\]

\[s = \frac{1}{2}(5)(100) - 0\]

\[s = 250 \, \text{м}\]

Таким образом, точка пройдет путь в 250 метров за первые 10 секунд движения.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять решение задач. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!