1. Какой угол образует вектор bac, если b.cd и ac являются наклонными к плоскости b.bd=8, cd=10, ac=12?

Кобра_5485

51

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой косинуса для нахождения угла между двумя векторами. Вектор bac образуется между векторами ba и ac. Давайте рассмотрим это пошагово.

Шаг 1: Найдем длины векторов ba, bd и ac, используя заданные значения. Из условия задачи имеем:
bd = 8,
cd = 10,
ac = 12.

Шаг 2: Теперь используем длины векторов, чтобы найти косинус угла между векторами ba и ac. Формула косинуса выглядит следующим образом:

\[
\cos(\theta) = \frac{ba \cdot ac}{\lVert ba \rVert \cdot \lVert ac \rVert},
\]

где ba \(\cdot\) ac - это скалярное произведение векторов ba и ac, \(\lVert ba \rVert\) и \(\lVert ac \rVert\) - длины этих векторов.

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение ba \(\cdot\) ac. Для этого нам понадобится найти координаты векторов ba и ac в трехмерном пространстве. Учитывая, что векторы равны:

ba = ab = (-bc, -bd, -ac),
ac = (-cd, 0, ac),

мы можем рассчитать их произведение:

ba \(\cdot\) ac = (-bc) \(\times\) (-cd) + (-bd) \(\times\) 0 + (-ac) \(\times\) ac.

Шаг 4: Зная значения координат, мы можем вычислить скалярное произведение ba \(\cdot\) ac:

ba \(\cdot\) ac = bc \(\times\) cd + bd \(\times\) 0 + ac \(\times\) ac.

Шаг 5: Подставим значения bc = 8, cd = 10 и ac = 12 в формулу и рассчитаем скалярное произведение ba \(\cdot\) ac.

ba \(\cdot\) ac = 8 \(\times\) 10 + 0 \(\times\) 0 + 12 \(\times\) 12 = 80 + 0 + 144 = 224.

Шаг 6: Теперь найдем длины векторов ba и ac. Мы уже знаем, что ac = 12. Для нахождения длины вектора ba используем формулу:

\(\lVert ba \rVert = \sqrt{(-bc)^2 + (-bd)^2 + (-ac)^2}\).

Подставим значения bc = 8, bd = 8 и ac = 12:

\(\lVert ba \rVert = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + (-12)^2}\).

\(\lVert ba \rVert = \sqrt{64 + 64 + 144}\).

\(\lVert ba \rVert = \sqrt{272}\).

Шаг 7: Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем вычислить косинус угла между векторами ba и ac:

\(\cos(\theta) = \frac{ba \cdot ac}{\lVert ba \rVert \cdot \lVert ac \rVert} = \frac{224}{\sqrt{272} \cdot 12}\).

Шаг 8: Найдем значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:

\(\theta = \arccos\left(\frac{224}{\sqrt{272} \cdot 12}\right)\).

Угол, который образует вектор bac, равен \(\theta\).