1) На сколько раз яркость ригеля превышает яркость солнца, если его параллакс составляет 0,003’’ и видимая звездная

Pingvin

65

Задача 1:
Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой для определения яркости звезды:
\[m - M = 5 \cdot \log_{10} (d/10)\]
Где:
m - видимая звездная величина (0,34 в данном случае),
M - абсолютная звездная величина (которую мы и хотим найти),
d - параллакс звезды в угловых секундах (0,003’’ в данном случае).

Перепишем формулу, чтобы найти абсолютную звездную величину:
\[M = m - 5 \cdot \log_{10} (d/10)\]

Теперь можем подставить значения и решить задачу:
\[M = 0,34 - 5 \cdot \log_{10} (0,003/10)\]

Вычислим значение внутри логарифма:
\[\log_{10} (0,003/10) = \log_{10} (0,0003)\]

Aпроксимируем значение, округлив его до двух знаков после запятой:
\[\log_{10} (0,0003) \approx -3,53\]

Теперь можем выразить абсолютную звездную величину M:
\[M = 0,34 - 5 \cdot (-3,53) = 0,34 + 17,65 = 18,99\]

Таким образом, абсолютная звездная величина ригеля равна приблизительно 18,99.
Чтобы найти отношение яркости ригеля к яркости солнца, воспользуемся формулой:
\[\frac{{\text{{яркость ригеля}}}}{{\text{{яркость солнца}}}} = 100^{(m_{\odot} - M_{\odot} - 2.5 \cdot \log_{10}(L/L_{\odot}))}\]
Где \(m_{\odot}\) и \(M_{\odot}\) являются видимой и абсолютной звездной величиной для солнца соответственно, а \(L/L_{\odot}\) является отношением светимостей ригеля и солнца.

Значение \(m_{\odot}\) для солнца равно -26,74, а значение \(M_{\odot}\) равно 4,74. Подставим значения и решим задачу:
\[\frac{{\text{{яркость ригеля}}}}{{\text{{яркость солнца}}}} = 100^{(0,34 - 18,99 - 2.5 \cdot \log_{10}(L/L_{\odot}))}\]
Мы хотим найти отношение яркости ригеля к яркости солнца, поэтому давайте перепишем уравнение следующим образом:
\[\frac{{\text{{яркость ригеля}}}}{{\text{{яркость солнца}}}} \approx 100^{-18,65}\]

Теперь вычислим:
\[\frac{{\text{{яркость ригеля}}}}{{\text{{яркость солнца}}}} \approx 10^{-1865}\]

Таким образом, яркость ригеля превышает яркость солнца примерно на \(10^{1865}\) раз.

Задача 2:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для определения плотности:
\[D = \frac{{m}}{{V}}\]
Где:
D - плотность (которую мы и хотим найти),
m - масса,
V - объем.

Мы знаем, что диаметр красного сверхгиганта в 300 раз больше солнечного, а масса в 30 раз больше массы солнца. Поскольку объем шара пропорционален кубу его радиуса, можем записать:
\[\frac{{V_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{V_{\odot}}} = \left(\frac{{D_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{D_{\odot}}}\right)^3 = \left(\frac{{r_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{r_{\odot}}}\right)^3 = \left(\frac{{300}}{{1}}\right)^3 = 270000\]

Мы знаем, что масса красного сверхгиганта в 30 раз больше массы солнца, поэтому:
\[\frac{{m_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{m_{\odot}}} = \frac{{D_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{D_{\odot}}} = \frac{{r_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{r_{\odot}}} = \frac{{300}}{{1}} = 300\]

Теперь можем записать выражение для плотности красного сверхгиганта:
\[D_{\text{{кр. сверхгиганта}}} = \frac{{m_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}}{{V_{\text{{кр. сверхгиганта}}}}} = \frac{{30 \cdot m_{\odot}}}{{270000 \cdot V_{\odot}}}\]

Таким образом, средняя плотность красного сверхгиганта равна \(D_{\text{{кр. сверхгиганта}}} = \frac{{30 \cdot D_{\odot}}}{{270000}}\).