1) Найдите длину отрезка Ab на рисунке 17, если CF || BE, AE=6см, EF=14см, и BC=35см. 2) Если треугольники ABC и

Сергеевич

9

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

1) Для нахождения длины отрезка Ab нам понадобится использовать подобие треугольников. Согласно условию, CF || BE, что означает, что треугольники CEF и BEA подобны друг другу.

Получается, что \(\frac{{CF}}{{BE}} = \frac{{EF}}{{EA}}\) (отношение длин соответствующих сторон в подобных треугольниках).

Подставляя известные значения, получаем \(\frac{{CF}}{{BE}} = \frac{{14}}{{6}}\).

Далее, заметим, что треугольники ABC и CEF подобны друг другу по теореме о подобии треугольников, так как у них соответственные углы равны (параллельные прямые CF и BE создают равные углы с прямыми BC и AE).

Следовательно, отношение длин сторон в данных треугольниках равно: \(\frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\).

Подставив известные значения, получим: \(\frac{{AB}}{{14}} = \frac{{35}}{{6}}\).

Теперь, чтобы найти длину отрезка Ab, нужно решить уравнение относительно неизвестного Ab:

\(\frac{{AB}}{{14}} = \frac{{35}}{{6}}\).

Умножаем обе стороны на 14:

\(AB = \frac{{35}}{{6}} \cdot 14\).

Выполняя вычисления, получаем: \(AB = 70\) см.

Таким образом, длина отрезка Ab равна 70 см.

2) Согласно условию, треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Это значит, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны друг другу.

Так как сторонам AC и BC соответствуют стороны A1C1 и B1C1, соответственно, мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{{AC}}{{A1C1}} = \frac{{BC}}{{B1C1}}\).

Подставляем известные значения: \(\frac{{28}}{{16}} = \frac{{BC}}{{24}}\).

Упрощаем пропорцию и решаем уравнение относительно неизвестного BC:

\(\frac{{7}}{{4}} = \frac{{BC}}{{24}}\).

Умножаем обе стороны на 24:

\(BC = \frac{{7}}{{4}} \cdot 24\).

Выполняя вычисления, получаем: \(BC = 42\) см.

Таким образом, сторона треугольника ABC равна 42 см.

3) В треугольнике ABC, где CK является биссектрисой, мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины стороны BC.

Согласно данной теореме, \(\frac{{AB}}{{\sin(\angle BAC)}} = \frac{{BC}}{{\sin(\angle ABC)}}\).

Заметим, что, так как CK является биссектрисой, то угол BAC является суммой углов BAK и CAK.

Следовательно, \(\angle BAC = \angle BAK + \angle CAK\).

Подставляем известные значения: \(\frac{{AB}}{{\sin(\angle BAK + \angle CAK)}} = \frac{{BC}}{{\sin(\angle ABC)}}\).

Для удобства обозначим \(\angle BAK\) как \(\alpha\) и \(\angle CAK\) как \(\beta\).

Получаем \(\frac{{AB}}{{\sin(\alpha + \beta)}} = \frac{{BC}}{{\sin(\angle ABC)}}\).

Осталось заметить, что угол ABC является дополнением до 180 градусов для угла BAC, то есть \(\angle ABC = 180 - \angle BAC\).

Теперь можем продолжить уравнение: \(\frac{{AB}}{{\sin(\alpha + \beta)}} = \frac{{BC}}{{\sin(180 - (\alpha + \beta))}}\).

Так как \(\sin(180 - \theta) = \sin(\theta)\), уравнение принимает вид: \(\frac{{AB}}{{\sin(\alpha + \beta)}} = \frac{{BC}}{{\sin(\alpha + \beta)}}\).

Поскольку числитель и знаменатель равны, то \(\frac{{AB}}{{1}} = \frac{{BC}}{{1}}\).

Следовательно, \(AB = BC\).

Таким образом, длина стороны BC равна 45 см.

4) Найдем длину отрезка KM.

Мы знаем, что AM : MB = 4 : 9.

Следовательно, длина AM составляет \(\frac{{4}}{{4+9}}\) от общей длины отрезка AB.

Так как длина AB равна BC, то AM составляет \(\frac{{4}}{{4+9}}\) от BC.

Аналогично, MB составляет \(\frac{{9}}{{4+9}}\) от BC.

Получаем, что KM является пропорциональным отношением между AM и AC.

То есть \(\frac{{KM}}{{AM}} = \frac{{AC}}{{BC}}\).

Подставляем известные значения: \(\frac{{KM}}{{\frac{{4}}{{4+9}} \cdot BC}} = \frac{{AC}}{{BC}}\).

Упрощаем пропорцию и решаем уравнение относительно неизвестного KM:

\(\frac{{1}}{{13}} \cdot KM = \frac{{AC}}{{BC}}\).

Умножаем обе стороны на 13:

\(KM = \frac{{13}}{{AC}} \cdot BC\).

Подставляем известные значения: \(KM = \frac{{13}}{{18}} \cdot 45\).

Выполняя вычисления, получаем: \(KM \approx 32.50\) см.

Таким образом, длина отрезка KM составляет примерно 32.50 см.