1. Найдите длину отрезка MN в прямоугольном треугольнике MNK, где KM = 20 и KN = 21. 2. Найдите высоту, проведенную

Oblako

42

1. Для начала, воспользуемся теоремой Пифагора. Так как треугольник MNK прямоугольный, то применяем теорему Пифагора для сторон KM и KN, чтобы найти длину стороны MN.

По теореме Пифагора:
\(MN^2 = KM^2 + KN^2\)
\(MN^2 = 20^2 + 21^2\)
\(MN^2 = 400 + 441\)
\(MN^2 = 841\)

Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\(MN = \sqrt{841}\)
\(MN = 29\)

Таким образом, длина отрезка MN равна 29.

2. Чтобы найти высоту, проведенную на гипотенузу прямоугольного треугольника MNK, нам понадобится использовать формулу для площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти, используя любые две стороны и синус угла между ними:
\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{C}\)

В нашем случае, мы знаем две стороны треугольника MNK (MN и MK). Кроме того, гипотенуза MNK является основанием треугольника, поэтому мы можем использовать эту формулу для нахождения высоты, проведенной на гипотенузу.

Высота, проведенная на гипотенузу, равна:
\(h = \frac{2 \cdot S}{\text{гипотенуза}}\)

Зная длины сторон MN и MK, мы можем найти площадь треугольника MNK:
\(S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MK\)

Подставим известные значения:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 20\)
\(S = 290\)

Теперь найдем высоту:
\(h = \frac{2 \cdot 290}{29}\)
\(h = 20\)

Таким образом, высота, проведенная на гипотенузу прямоугольного треугольника MNK, равна 20.

3. Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике MNK можно найти, используя формулу:
\(r = \frac{S}{p}\), где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Мы уже вычислили площадь треугольника MNK в предыдущем вопросе (S = 290).

Теперь найдем полупериметр треугольника, сложив длины всех трех сторон и разделив на 2:
\(p = \frac{MN + MK + NK}{2}\)
\(p = \frac{29 + 20 + 21}{2}\)
\(p = \frac{70}{2}\)
\(p = 35\)

Теперь подставим значения в формулу для нахождения радиуса:
\(r = \frac{290}{35}\)
\(r \approx 8.286\)

Таким образом, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике MNK примерно равен 8.286.

4. Чтобы найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника MNK, воспользуемся формулой:
\(R = \frac{c}{2}\), где c - длина гипотенузы.

Мы уже знаем, что длина гипотенузы MNK равна 29.

Подставим значение в формулу:
\(R = \frac{29}{2}\)
\(R = 14.5\)

Таким образом, радиус описанной окружности прямоугольного треугольника MNK равен 14.5.

5. Площадь прямоугольного треугольника MNK можно найти, используя формулу:
\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где a и b - длины катетов.

Мы уже знаем длины катетов MN и MK:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 20\)
\(S = 290\)

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника MNK равна 290.

6. Для нахождения синуса большего из острых углов прямоугольного треугольника MNK, мы можем использовать соотношение синуса и гипотенузы треугольника:
\(\sin{A} = \frac{a}{c}\), где A - острый угол, a - длина противолежащего катета, c - длина гипотенузы.

В нашем случае, А будет равно большему из острых углов прямоугольного треугольника MNK, поэтому синус этого угла равен:
\(\sin{A} = \frac{MK}{MN}\)
\(\sin{A} = \frac{20}{29}\)

Таким образом, синус большего из острых углов прямоугольного треугольника MNK равен \(\frac{20}{29}\).

7. Чтобы найти косинус меньшего из острых углов прямоугольного треугольника MNK, можно использовать соотношение косинуса и гипотенузы треугольника:
\(\cos{A} = \frac{b}{c}\), где A - острый угол, b - длина прилежащего катета, c - длина гипотенузы.

В нашем случае, А будет равно меньшему из острых углов прямоугольного треугольника MNK, поэтому косинус этого угла равен:
\(\cos{A} = \frac{MN}{NK}\)
\(\cos{A} = \frac{29}{21}\)

Таким образом, косинус меньшего из острых углов прямоугольного треугольника MNK равен \(\frac{29}{21}\).

8. Чтобы найти тангенс угла, внешнего по отношению к углу M в прямоугольном треугольнике MNK, мы можем использовать соотношение тангенса и противолежащего катета:
\(\tan{M"} = \frac{MK}{MN}\), где M" - внешний угол, MK - противолежащий катет, MN - прилежащий катет.

В нашем случае, внешний угол M" равен сумме острого угла M и прямого угла (90 градусов).
Таким образом, M" = M + 90.

Тангенс внешнего угла M" равен:
\(\tan{(M + 90)} = \tan{(M" + 90)} = \tan{M"}\)

Используем формулу тангенса суммы двух углов:
\(\tan{(M + 90)} = \frac{\tan{M} + \tan{90}}{1 - \tan{M} \cdot \tan{90}}\)

Так как тангенс прямого угла равен бесконечности, \(\tan{90} = \infty\), и \(\tan{M} \cdot \tan{90} = \infty\).
Формулу можно упростить:
\(\tan{(M + 90)} = \frac{\tan{M} + \infty}{1 - \infty}\)
\(\tan{(M + 90)} = \frac{\tan{M}}{-1}\)
\(\tan{(M + 90)} = -\tan{M}\)

Таким образом, тангенс угла, внешнего по отношению к углу M в прямоугольном треугольнике MNK, равен \(-\tan{M}\).