1) Найдите расстояние от конца перпендикуляра, восстановленного из центра вписанной окружности в треугольнике

Babochka

46

Задача 1:
В данной задаче у нас есть треугольник со сторонами 13, 14 и 15 и перпендикуляром, проведенным из центра вписанной окружности. Наша задача - найти расстояние от этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Первым шагом найдем площадь треугольника по формуле полупериметра:

\[
s = \frac{{a + b + c}}{2}
\]

где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае:

\[
s = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21
\]

Далее, найдем радиус вписанной окружности по формуле:

\[
r = \frac{{\text{{площадь треугольника}}}}{{\text{{полупериметр треугольника}}}}
\]

В нашем случае:

\[
r = \frac{{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{{s}} = \frac{{\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}}}{{21}} \approx 3.36
\]

Теперь, поскольку перпендикуляр проведен из центра вписанной окружности, он является радиусом этой окружности. Поэтому, расстояние от перпендикуляра до сторон треугольника также равно радиусу и составляет 3.36 (округляем до двух знаков после запятой).

Ответ: расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника равно 3.36.

Задача 2:
В данной задаче у нас есть ромб ABCD со стороной длиной 12 и острым углом, равным 30 градусов. Также у нас есть точка M, которая находится за границами плоскости ромба и равноудалена от его сторон. Наша задача - найти расстояние от точки М до сторон ромба.

Для начала нарисуем ромб ABCD:

A
/\
/ \
/ \
/______\
B C
\ /
\ /
\ /
\/
D

Далее, проведем проекцию точки М на плоскость ромба. Назовем получившуюся точку N:

A
/\
/ \
/ \
/______\
B C
\ /
\ N /
\ /
\/
D

Так как точка М равноудалена от сторон ромба, она лежит на биссектрисе острого угла ромба. Проведем эту биссектрису и обозначим точку пересечения с ромбом как P:

A
/\
/P \
/ \
/______\
B C
\ /
\ N /
\ /
\/
D

Поскольку М лежит на биссектрисе острого угла ромба, то угол AMP является прямым углом. К тому же, AMP - прямоугольный треугольник, так как угол MAP изначально равен 30 градусов.

Таким образом, для решения задачи нам нужно найти длину отрезка PM.

Рассмотрим треугольник AMP. Длина гипотенузы AM известна и равна 12 (длине стороны ромба). Угол MAP равен 30 градусам. Мы хотим найти длину отрезка PM.

Для этого воспользуемся тригонометрической функцией синуса:

\[
\sin(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

В нашем случае угол равен 30 градусам, противоположная сторона равна PM, а гипотенуза - AM. Подставив известные значения, получим:

\[
\sin(30) = \frac{{PM}}{{12}}
\]

Выразим PM:

\[
PM = \sin(30) \cdot 12 = \frac{{1}}{{2}} \cdot 12 = 6
\]

Ответ: расстояние от проекции точки М на плоскость ромба ABCD до его сторон равно 6.