Яку площу має квадрат, що міститься в даному колі, якщо площа правильного трикутника, описаного навколо цього кола

Luna_635

35

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать некоторые геометрические формулы. Давайте начнем с площади квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда площадь этого квадрата будет равна \(x^2\) квадратных сантиметров.

Также, по условию задачи, дано, что правильный треугольник, описанный вокруг этого круга, имеет площадь \(54\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Теперь, давайте перейдем к формуле для площади правильного треугольника.

Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{треуг.}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

где \(S_{\text{треуг.}}\) - площадь треугольника и \(a\) - длина стороны треугольника.

Так как правильный треугольник описывает данный круг, сторона треугольника равна диаметру круга.

Известно, что диаметр круга равен длине стороны квадрата, поэтому \(a = x\).

Теперь мы можем записать уравнение для площади правильного треугольника:

\[54\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2\]

Для решения этого уравнения, домножим обе части на \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) и получим:

\[216 = x^2\]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей этого уравнения:

\[x = \sqrt{216}\]

Вычислив значение, получаем:

\[x = 6\sqrt{6}\]

Таким образом, сторона квадрата равна \(6\sqrt{6}\) см.

Теперь, чтобы найти площадь квадрата, мы можем подставить это значение в формулу:

\[S_{\text{квадрата}} = (6\sqrt{6})^2 = 36 \cdot 6 = 216 \, \text{см}^2\]

Итак, площадь квадрата, который содержится в данном круге, равна \(216 \, \text{см}^2\).