1) Найдите сумму координат вектора a, если известно, что вектор а направлен противоположно вектору b (-18; 9

Yangol

60

Хорошо, давайте начнем с каждой задачи поочередно:

1) Дано, что вектор а направлен противоположно вектору b, а также известна длина вектора |a|, равная 7. Для того чтобы найти сумму координат вектора a, нужно сначала найти сам вектор a.

Мы знаем, что вектор a направлен противоположно вектору b. Это означает, что координаты вектора a можно получить, поменяв знаки координат вектора b:

\[
a = (-(-18), -9, -(-6)) = (18, -9, 6)
\]

Затем, чтобы найти сумму координат вектора a, нужно сложить все его координаты:

\[
18 + (-9) + 6 = 15
\]

Таким образом, сумма координат вектора a равна 15.

2) Чтобы найти значения m, при которых векторы a и b будут перпендикулярны, нам понадобится использовать определение перпендикулярности векторов. Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Используя скалярное произведение, можем написать следующее уравнение:

\[
(m^2 \cdot 1) + (-5 \cdot 1) + (1 \cdot -4) = 0
\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[
m^2 - 5 - 4 = 0
\]

\[
m^2 - 9 = 0
\]

Это квадратное уравнение, решение которого можно найти с помощью формулы корней. Решив его, получаем:

\[
m_1 = -3, m_2 = 3
\]

Таким образом, значения m, при которых векторы a и b перпендикулярны, равны -3 и 3.

3) Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}}
\]

Где a и b - это векторы, а |a| и |b| - их длины. Здесь а и b имеют следующие координаты:

\[
a = (3, 2, 1), \quad b = (1, 1, 2)
\]

Тогда скалярное произведение a и b равно:

\[
a \cdot b = (3 \cdot 1) + (2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) = 3 + 2 + 2 = 7
\]

А длины векторов a и b равны:

\[
|a| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}
\]

\[
|b| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}
\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
\cos{\theta} = \frac{{7}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}}
\]

Для того чтобы найти косинус угла, возьмем обратный косинус (арккосинус) от полученного значения:

\[
\theta = \arccos{\left( \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} \right)}
\]

Результат численно равен:

\[
\theta \approx 38.94^\circ
\]

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен примерно 38.94 градусов.

4) Для того чтобы найти длину диагонали bd параллелограмма abcd, мы можем использовать теорему Пифагора. Диагональ параллелограмма является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого две стороны - это стороны параллелограмма.

Для начала найдем векторы ab, ac и ad, затем используем их для вычисления длин сторон параллелограмма.

Вектор ab:

\[
ab = (d - a) = (5 - 2, 4 - 3, -1 - (-5)) = (3, 1, 4)
\]

Вектор ac:

\[
ac = (c - a) = (3 - 2, 6 - 3, 8 - (-5)) = (1, 3, 13)
\]

Вектор ad:

\[
ad = (d - a) = (5 - 2, 4 - 3, -1 - (-5)) = (3, 1, 4)
\]

Теперь вычислим длины этих векторов:

\[
|ab| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{26}
\]

\[
|ac| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 13^2} = \sqrt{179}
\]

\[
|ad| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{26}
\]

Так как диагональ bd является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами |ab| и |ad|, мы можем применить теорему Пифагора:

\[
|bd| = \sqrt{|ab|^2 + |ad|^2} = \sqrt{26 + 26} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
\]

Таким образом, длина диагонали bd параллелограмма abcd равна \(2\sqrt{13}\).

5) Чтобы найти длину диагонали bd ромба abcd, мы можем использовать теорему Пифагора. Нам нужно найти стороны ромба, чтобы вычислить длину диагонали.

Вектор ab:

\[
ab = (b - a) = (2 - 1, 4 - 3, 5 - (-1)) = (1, 1, 6)
\]

Вектор ac:

\[
ac = (c - a) = (8 - 1, 5 - 3, 6 - (-1)) = (7, 2, 7)
\]

Теперь вычислим длины этих векторов:

\[
|ab| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 6^2} = \sqrt{38}
\]

\[
|ac| = \sqrt{7^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{102}
\]

Так как ромб abcd является равнобедренным, то диагонали его являются перпендикулярами, а значит, они делятся пополам. Следовательно, для того чтобы найти длину диагонали bd, давайте разделим длину диагонали ac пополам:

\[
|bd| = \frac{{|ac|}}{2} = \frac{{\sqrt{102}}}{2} = \frac{{\sqrt{102}}}{2}
\]

Таким образом, длина диагонали bd ромба abcd равна \(\frac{{\sqrt{102}}}{2}\).

6) Для того чтобы найти градусную меру угла между вектором a и указанным вектором, мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}}
\]

Где a и b - это векторы, а |a| и |b| - их длины. Здесь a имеет следующие координаты:

\[
a = (-1, \sqrt{7}, -2\sqrt{2})
\]

Вектор b не указан и поэтому невозможно найти угол только с этой информацией.

Если у вас есть дополнительные данные о векторе b, пожалуйста, предоставьте их, чтобы я мог вычислить градусную меру угла между векторами a и b.