1 Найдите угол между векторами CD и AB, используя координаты точек А(3; -3; 4), D(7; -3; 1), С(6;-3;2), В(4; -1

Максим

56

Для решения этой задачи, мы можем использовать координатный метод. Для начала, нам нужно найти векторы CD и AB, чтобы вычислить угол между ними.

1) Найдем вектор CD:
Для этого вычтем координаты точек C и D:
\[\overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix}6 - 7 \\ -3 - (-3) \\ 2 - 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\]

2) Теперь найдем вектор AB:
Вычтем координаты точек A и B:
\[\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix}3 - 4 \\ -3 - (-1) \\ 4 - 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ -2 \\ 2\end{bmatrix}\]

3) Найдем скалярное произведение векторов CD и AB:
\[\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 1\]

4) Теперь найдем длины векторов CD и AB:
Длина вектора CD: \(\|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
Длина вектора AB: \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)

5) Используем формулу для нахождения угла между векторами, зная их скалярное произведение и длины:
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{CD}\| \cdot \|\overrightarrow{AB}\|}\)

\(\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}\)

6) Находим значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса, т.к. мы знаем значение косинуса угла:
\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)\)

Ответ: Угол между векторами CD и AB составляет \(\arccos\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)\) или примерно 25.76 градусов.