1. Найти следующие характеристики абсолютно черного тела сферической формы: а) полную излучательную мощность

Paporotnik

34

Для начала решим каждую часть задачи по очереди:

а) Полная излучательная мощность, \(P\) абсолютно черного тела сферической формы, известна как закон Стефана-Больцмана. Формула для вычисления полной излучательной мощности имеет следующий вид:

\[P = \sigma \cdot A \cdot T^4\]

где \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(5.67 \times 10^{-8}\, Вт/м^2K^4\)), \(A\) - площадь поверхности сферы, \(T\) - температура тела в Кельвинах.

Для сферы площадь поверхности \(A\) можно вычислить по следующей формуле:

\[A = 4\pi r^2\]

Где \(r\) - радиус сферы.

Подставим изначальные значения в формулу и произведем необходимые вычисления:

\[A = 4\pi \cdot (3.8)^2 \approx 181.03\, м^2\]
\[P = (5.67 \times 10^{-8}) \cdot 181.03 \cdot (2200^4) \approx 1.41 \times 10^9\, Вт\]

Таким образом, полная излучательная мощность абсолютно черного тела сферической формы составляет около \(1.41 \times 10^9\, Вт\).

б) Энергия, выпущенная телом за указанный промежуток времени \(t\), может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[E = P \cdot t\]

где \(P\) - полная излучательная мощность, \(t\) - промежуток времени.

Подставляем значения и получаем:

\[E = (1.41 \times 10^9) \cdot t\]

в) Масса излучаемого вещества не определяется только на основании предоставленных данных. Для определения массы излучаемого вещества требуется знать плотность материала, из которого состоит сфера, или навесить абсолютно черное тело на весы.

г) Длина волны, на которую приходится максимум спектральной излучательной мощности, можно определить с помощью закона Вина:

\[\lambda_{max} = \frac{b}{T}\]

где \(b\) - постоянная Вина (\(2.898 \times 10^{-3}\, м \cdot K\)), \(T\) - температура тела в Кельвинах.

Подсчитаем:

\[\lambda_{max} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{2200} \approx 1.318 \times 10^{-6}\, м\]

д) Максимальная спектральная излучательная мощность при заданных условиях соответствует волновой длине, на которую приходится максимум спектра излучения тела, и может быть выражена с помощью закона Планка:

\[P_{max} = \sigma \cdot A \cdot \lambda_{max}^{-5} \cdot \left( \frac{1}{e^{\frac{b}{\lambda_{max} \cdot T}} - 1} \right)\]

Подставим значения и произведем вычисления:

\[P_{max} = (5.67 \times 10^{-8}) \cdot 181.03 \cdot (1.318 \times 10^{-6})^{-5} \cdot \left( \frac{1}{e^{\frac{2.898 \times 10^{-3}}{(1.318 \times 10^{-6}) \cdot 2200}}} - 1 \right)\]

\[P_{max} \approx 7.86 \times 10^4\, Вт/м^2\]

е) Чтобы схематически изобразить зависимость спектральной излучательной мощности от длины волны излучения для двух температур \(t_1\) и \(t_2\), необходимо построить график, где по оси абсцисс будет отложена длина волны \(\lambda\), а по оси ординат - спектральная излучательная мощность \(P(\lambda)\). Затем на этот график нужно отобразить две кривые - для температур \(t_1\) и \(t_2\).

Давайте приступим к построению графика. Пожалуйста, уточните значения температур \(t_1\) и \(t_2\), чтобы я мог правильно изобразить зависимость.