1) Найти, за какое время частица остановится под воздействием силы сопротивления среды, пропорциональной ее скорости

Змея

52

1) Чтобы найти время, за которое частица остановится под воздействием силы сопротивления среды, пропорциональной её скорости, мы можем использовать закон Ньютона о движении с переменным ускорением.

Закон Ньютона гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение. В данном случае, сила сопротивления среды, пропорциональная скорости, действует в противоположном направлении движения и выражается как \(-k\cdot v\), где \(k\) - коэффициент пропорциональности, а \(v\) - скорость частицы.

Таким образом, уравнение движения будет иметь вид:

\[m\cdot a = -k\cdot v\]

где \(m\) - масса частицы, а \(a\) - её ускорение.

Теперь нам нужно выразить ускорение через скорость. Для этого мы воспользуемся определением ускорения как производной скорости по времени:

\[a = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Теперь мы можем записать уравнение движения в виде:

\[m\cdot \frac{{dv}}{{dt}} = -k\cdot v\]

Для решения этого дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных. Перепишем уравнение в следующем виде:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = -\frac{{k}}{{m}}\cdot v\]

Теперь мы можем разделить переменные и интегрировать обе части уравнения. Получим:

\[\int{\frac{{dv}}{{v}}} = -\int{\frac{{k}}{{m}}\cdot dt}\]

Интегрируя, получаем:

\[\ln{|v|} = -\frac{{k}}{{m}}\cdot t + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем избавиться от натурального логарифма, возводя обе части уравнения в экспоненту:

\[\exp(\ln{|v|}) = \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t + C)\]

\[|v| = \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t) \cdot \exp(C)\]

\[|v| = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

где \(A\) - константа, равная \(\exp(C)\).

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Если начальная скорость \(v_0\) равна нулю, то \(A = |v_0| = 0\) и скорость частицы будет постепенно уменьшаться от максимального значения до 0. Частица остановится, когда её скорость станет равной 0, то есть \(v = 0\).

2. Если начальная скорость \(v_0\) не равна нулю, то \(A = |v_0| \neq 0\) и скорость частицы будет уменьшаться от \(|v_0|\) до 0. Частица остановится, когда её скорость станет равной 0, то есть \(v = 0\).

В обоих случаях, чтобы найти время, за которое частица остановится, необходимо решить уравнение:

\[0 = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

Единственное решение этого уравнения будет \(t = \infty\), что означает, что частица никогда не остановится.

Таким образом, если сила сопротивления среды пропорциональна скорости, частица будет уменьшать свою скорость постепенно, но никогда полностью не остановится под воздействием этой силы.

2) Чтобы определить зависимость скорости частицы от пройденного ею пути и найти полный путь, прежде чем она остановится, мы можем использовать интеграл.

Из предыдущего решения мы знаем, что скорость частицы уменьшается по экспоненциальному закону:

\[v = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

где \(A\) - постоянная, \(m\) - масса частицы, \(k\) - коэффициент пропорциональности силы сопротивления, \(t\) - время.

Чтобы найти зависимость скорости от пройденного пути, мы можем использовать определение скорости как производной координаты по времени:

\[v = \frac{{ds}}{{dt}}\]

где \(s\) - пройденный путь.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

Для решения этого дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных:

\[\frac{{ds}}{{\exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)}} = A\cdot dt\]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

\[\int{\frac{{ds}}{{\exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)}}} = \int{A\cdot dt}\]

Упрощая выражение в левой части, получаем:

\[\int{\exp(\frac{{k}}{{m}}\cdot t)}\cdot ds = A\cdot t + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Чтобы выполнить интегрирование, мы можем воспользоваться заменой переменной: \(\frac{{k}}{{m}}\cdot t = u\), откуда \(dt = \frac{{du}}{{\frac{{k}}{{m}}}} = \frac{{m}}{{k}}\cdot du\).

Подставляя в выражение, получаем:

\[\int{\exp(u)}\cdot ds = A\cdot \frac{{m}}{{k}}\cdot t + C\]

Интегрируя, получаем:

\[\exp(u)\cdot s = A\cdot \frac{{m}}{{k}}\cdot t + C_1\]

\[s = A\cdot \frac{{m}}{{k}}\cdot t + C_1\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

где \(C_1\) - новая постоянная.

Теперь нам нужно найти полный путь, прежде чем частица остановится. Мы знаем, что полный путь будет достигнут, когда скорость частицы станет равной 0:

\[v = 0 = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

Отсюда следует, что \(A = 0\) или \(\exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t) = 0\).

Единственное решение этого уравнения будет \(t = \infty\), что означает, что частица никогда не остановится.

Таким образом, зависимость скорости частицы от пройденного пути будет иметь вид:

\[v = A\cdot \exp(-\frac{{k}}{{m}}\cdot t)\]

и полный путь, прежде чем частица остановится, будет бесконечным.