1. Определите диапазон допустимых значений переменной в выражении (х+3)(х-7). 2. Упростите дробь: а) (17a^2 - b^2)/(a

Morskoy_Cvetok

15

Конечно! Давайте начнем по порядку.

1. Для определения диапазона допустимых значений переменной в выражении \((x+3)(x-7)\), нам нужно учесть два факта. Первый факт состоит в том, что выражение будет иметь смысл только при определенных значениях переменной \(x\). Второй факт заключается в том, что при определенных значениях \(x\) произведение \((x+3)(x-7)\) будет давать различные результаты.

Давайте решим второй факт сначала. Раскроем скобки в выражении \((x+3)(x-7)\):

\((x+3)(x-7)=x^2-7x+3x-21=x^2-4x-21\)

Теперь рассмотрим первый факт. Для того чтобы выражение \(x^2-4x-21\) имело смысл, дискриминант уравнения должен быть неотрицательным.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D=b^2-4ac\), где в нашем случае \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-21\). Подставим значения в формулу:

\(D=(-4)^2-4(1)(-21)=16+84=100\)

Дискриминант равен 100. Поскольку дискриминант положительный, то это означает, что уравнение \(x^2-4x-21\) имеет два действительных корня, и, следовательно, выражение \((x+3)(x-7)\) определено для любых значений \(x\).

Итак, диапазон допустимых значений переменной \(x\) в выражении \((x+3)(x-7)\) - это любое действительное число.

2. Теперь перейдем к упрощению дроби.

а) Упростим дробь \(\frac{{17a^2 - b^2}}{{a + 3bx}}\):

Сначала разложим числитель на множители. Используем формулу разности квадратов:

\(17a^2 - b^2 = (4a + b)(4a - b)\)

Теперь мы можем упростить дробь. Делаем распределение (факторизацию) по множителям:

\(\frac{{17a^2 - b^2}}{{a + 3bx}} = \frac{{(4a + b)(4a - b)}}{{a + 3bx}}\)

Таким образом, упрощенная форма дроби равна \(\frac{{(4a + b)(4a - b)}}{{a + 3bx}}\).

б) Упростим дробь \(\frac{{x^2 - 25}}{{2x - 5}}\):

Для упрощения этой дроби, мы снова будем использовать формулу разности квадратов:

\(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

Делаем распределение по множителям:

\(\frac{{x^2 - 25}}{{2x - 5}} = \frac{{(x + 5)(x - 5)}}{{2x - 5}}\)

Таким образом, упрощенная форма дроби равна \(\frac{{(x + 5)(x - 5)}}{{2x - 5}}\).

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!