1. Пересчитайте: а) Какое значение имеет sin 150º? Какое значение имеет cos 240º? Какое значение имеет tg 135º? Какое

Taras

63

Хорошо! Давайте решим эти задачи по шагам.

1. а) Значение функций синуса, косинуса и тангенса углов указывает на отношение длин сторон треугольника. Чтобы найти эти значения, нам нужно знать соответствующие углы.

- sin(150º) = sin(180º - 30º) = sin(30º) = 1/2
- cos(240º) = cos(180º + 60º) = cos(60º) = 1/2
- tg(135º) = tg(180º - 45º) = tg(45º) = 1
- ctg(315º) = ctg(360º - 45º) = ctg(45º) = 1

б) Чтобы найти значения тангенса и котангенса для заданных углов, нам понадобится знание специальных значений для углов п/4 и п/2.

- tg(п/4) = 1
- ctg(п/2) = 0

2. а) Для этого вам нужно знать значение тангенса угла α.

Известно, что tg(α) = п/4. Используя формулу
\[tg(α) = \frac{{\sin(α)}}{{\cos(α)}}\]
можно записать
\[\frac{{\sin(α)}}{{\cos(α)}} = \frac{{п}}{{4}}\]
Учитывая основное тождество тангенса
\[\tan^2(α) + 1 = \frac{{\sin^2(α)}}{{\cos^2(α)}} + 1 = \frac{{п^2}}{{16}} + 1\]
Подставляя значение π/4, получим
\[\frac{{\sin^2(α)}}{{\cos^2(α)}} + 1 = \frac{{п^2}}{{16}} + 1 = \frac{{п^2 + 16}}{{16}}\]
Теперь нам нужно найти значения двойного угла.
\[\cos^2(2α) = \frac{{1}}{{\frac{{п^2 + 16}}{{16}}}} = \frac{{16}}{{п^2 + 16}}\]
\[\cos(2α) = \sqrt{\frac{{16}}{{п^2 + 16}}}\]
Учитывая, что \[cos(2α) = 2cos^2(α) - 1\]
Мы можем выразить выражение в форме:
\[2cos^2(α) - 1 = 2(п/8)^2 - 1 = \frac{{8п^2}}{{64}} - 1 = \frac{{8п^2 - 64}}{{64}} = \frac{{8(п^2 - 8)}}{{64}}\]
\[2cos^2(α) - 1 = \frac{{п^2 - 8}}{{8}}\]

Результатом выражения \(2\cos^2(α) + 1\) при условии \(\tg(α) = \pi/4\) будет \(\frac{{\pi^2 - 8}}{{8}}\).

б) Нам дано значение sin(x). Мы можем использовать основное тождество тригонометрии \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) чтобы получить значение cos²(x).

Подставляя значение sin(x) = -0.4, мы получаем:
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
\(-0.4^2 + \cos^2(x) = 1\)
\(\cos^2(x) = 1 - 0.16 = 0.84\)

Таким образом, значение выражения \(\sin^2(x) - 2\cos^2(x)\) будет:
\(\sin^2(x) - 2\cos^2(x) = (-0.4)^2 - 2(0.84) = 0.16 - 1.68 = -1.52\)

в) Мы можем использовать формулу тангенса и косинуса, чтобы найти значение выражения.

Подставляя значение \(\tg(α)\) = 3 в формулу \(6\sin(α) - 2\cos(α)\), мы получаем:
\(6\sin(α) - 2\cos(α) = 6\cdot\frac{\sin(α)}{\cos(α)} - 2 = 6\cdot3 - 2 = 16.\)

3. Чтобы найти значение данного выражения, мы выполним последовательные операции.

\((\sin(5\pi/4) - \cos(3\pi/4))\cdot\tan(7\pi/3)\\
= \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\cdot\tan\left(\frac{7\pi}{3}\right)\\
= 0\cdot\tan\left(\frac{7\pi}{3}\right)\\
= 0.\)

Таким образом, значение данного выражения равно 0.

4. Для данного предоставленного значения \(\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}\), мы можем найти значения trigonometric функций.

- \(\cos(\alpha)\) можно найти используя тождество \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\):
\[\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - 3 = -2.\]
Так как \(\cos(\alpha) \geq -1\), мы не можем определить значение \(\cos(\alpha)\).

- \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{3}}{\cos(\alpha)}.\) Но мы не можем определить значение \(\tan(\alpha)\), поскольку не знаем значение \(\cos(\alpha)\).

- \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\). Но так как мы не знаем значение \(\tan(\alpha)\), мы не можем найти значение \(\cot(\alpha)\).

5. Для выражения:

а) \(\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha)\), нам необходимо знать конкретное значение угла \(\alpha\), чтобы вычислить это выражение. Пожалуйста, предоставьте значение угла \(\alpha\), и я смогу вычислить значение этого выражения.

б) \(\sin^2(x)\). Если мы знаем значение \(\sin(x)\), то мы можем просто возведением в квадрат этого значения:
\[\sin^2(x) = (-0.4)^2 = 0.16.\]