Какие натуральные числа, чье произведение равно 462, если второе число на 2 меньше учетверенного первого?

Primula

13

Для решения данной задачи нам необходимо найти два натуральных числа, произведение которых равно 462, при условии, что второе число на 2 меньше, чем учетверенное первое число.

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Предположим, что первое число равно \(x\).
2. Учетверенное первое число будет равно \(4x\).
3. Второе число будет на 2 меньше, чем учетверенное первое число, то есть \(4x - 2\).
4. Умножим первое число на второе число: \(x \cdot (4x - 2)\).
5. По условию задачи, это произведение должно быть равно 462, поэтому мы можем записать уравнение:
\[x \cdot (4x - 2) = 462\]
6. Распишем это уравнение и приведем его к каноническому виду:
\[4x^2 - 2x - 462 = 0\]
7. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. Однако в данном случае это не является эффективным способом.
8. Вместо этого воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы узнать, имеет ли уравнение действительные корни.
Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a = 4\), \(b = -2\) и \(c = -462\), поэтому подставим эти значения:
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-462)\]
\[D = 4 + 7392\]
\[D = 7396\]
9. Значение дискриминанта \(D\) равно 7396.
Если \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Если \(D = 0\), уравнение имеет один действительный корень.
Если \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.
10. В нашем случае \(D > 0\), что означает, что у нас есть два действительных корня.
11. С помощью формулы корней квадратного уравнения мы можем найти эти корни.
Корни квадратного уравнения с дискриминантом \(D\) вычисляются по следующим формулам:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
12. Подставим значения в формулы:
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{7396}}{2 \cdot 4}\]
\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{7396}}{2 \cdot 4}\]
\[x_1 = \frac{2 + 86}{8} = \frac{88}{8} = 11\]
\[x_2 = \frac{2 - 86}{8} = \frac{-84}{8} = -10.5\]
13. В результате у нас есть два корня: 11 и -10,5.
Однако по условию задачи речь идет о натуральных числах.
Натуральные числа - это положительные целые числа, начиная с 1.
Поэтому решением задачи будут только натуральные числа, мы можем отбросить отрицательное число -10.5.
14. Таким образом, единственным натуральным числом, которое удовлетворяет условию задачи, является 11.

Ответ: Натуральным числом, которое произведение равно 462, если второе число на 2 меньше учетверенного первого, является число 11.