1. Поискайте критические (стационарные) точки функции f(x)=2x 3 -9x 2 - 60x+127. 2. а) Изучите функцию f(x)=2x 2 -5x+1

Звездопад_На_Горизонте

38

1. Чтобы найти критические (стационарные) точки функции f(x)=2x^3-9x^2-60x+127, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x.
\[f"(x) = 6x^2 - 18x - 60\]

Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[6x^2 - 18x - 60 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \(a = 6\), \(b = -18\) и \(c = -60\). Подставив значения, получим:
\[x=\frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-60)}}{2 \cdot 6}\]

Выполнив вычисления, получим две критические точки:
\[x_1 = 5, \quad x_2 = -2\]

Таким образом, критическими (стационарными) точками функции \(f(x)=2x^3-9x^2-60x+127\) являются точки \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -2\).

2. а) Чтобы изучить функцию \(f(x)=2x^2-5x+1\) и нарисовать набросок графика, мы можем проанализировать коэффициенты функции и использовать некоторые свойства параболы.

Первый коэффициент \(2\) перед \(x^2\) говорит нам о том, что парабола открывается вверх, так как коэффициент положительный. Второй коэффициент \(-5\) перед \(x\) указывает на смещение параболы вправо или влево. Последний коэффициент \(1\) представляет сдвиг параболы вверх или вниз, но не влияет на форму параболы.

Для нахождения вершины параболы можно использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a = 2\) и \(b = -5\), поэтому:

\[x = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}\]

Теперь мы можем найти значение функции в точке вершины, подставив \(x = \frac{5}{4}\) в уравнение \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\):

\[f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 1\]

После вычислений получаем:

\[f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{7}{8}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{5}{4}, -\frac{7}{8}\right)\).

b) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\) в точке с абсциссой \(x_0 = 2\), мы должны найти значение производной функции в этой точке и использовать его в уравнении касательной.

Ранее мы нашли производную функции \(f"(x)\) равной \(6x-5\). Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x = 2\):

\[f"(2) = 6(2) - 5 = 7\]

Таким образом, угол наклона касательной в точке \(x_0 = 2\) равен \(7\).

Теперь нам нужно найти значение функции в этой точке, подставив \(x_0 = 2\) в уравнение \(f(x)\):

\[f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + 1 = -1\]

Теперь, используя формулу уравнения прямой \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \(m\) - угол наклона касательной, а \(x_0\) и \(y_0\) - координаты точки на касательной, получаем:

\[y - (-1) = 7(x - 2)\]

\[y + 1 = 7x - 14\]

\[y = 7x - 15\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\) в точке с абсциссой \(x_0 = 2\) равно \(y = 7x - 15\).

Для проверки можно нарисовать график функции \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\) и построить касательную в точке с абсциссой \(x_0 = 2\), используя полученное уравнение.

3. Для подсчета производных и нахождения их значений в заданных точках, нужно знать конкретные функции. Пожалуйста, укажите функции, производные которых вы хотите найти, и заданные точки. Я смогу помочь вам с решением.