1. Постройте диаграмму функции f(x) = 2 cos x + 1. Используя график, определите: а) диапазон значений функции

Vechnaya_Mechta

62

Давайте начнем с построения графика функции \(f(x) = 2 \cos(x) + 1\).

1. Для того чтобы построить график, нам нужно знать некоторые особенности функции. Здесь у нас функция \(f(x)\) представлена как сумма двух частей: \(2 \cos(x)\) и 1.

Так как \(\cos(x)\) является периодической функцией, то и \(f(x)\) также будет иметь период. Период \(\cos(x)\) равен \(2\pi\), поэтому функция \(f(x)\) будет иметь тот же период.

2. Теперь построим график функции \(f(x)\). Для этого мы будем использовать координатную плоскость.

3. Расмотрим диапазон значений функции \(f(x)\).

Амплитуда функции \(\cos(x)\) равна 2, а константа 1 не влияет на амплитуду. Поэтому, амплитуда функции \(f(x)\) также будет равна 2.

Таким образом, значения функции \(f(x)\) будут лежать в диапазоне от 1 - 2 до 1 + 2, то есть от -1 до 3.

4. Теперь давайте определим интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)\).

Функция \(\cos(x)\) имеет отрезки возрастания и убывания каждый период.

Из графика можно увидеть, что функция \(2 \cos(x)\) возрастает с минимального значения в точке \((\frac{\pi}{2},-2)\) до максимального значения в точке \((\frac{3\pi}{2},2)\).

Далее функция \(2 \cos(x) + 1\) также возрастает с минимального значения в точке \((\frac{\pi}{2},-1)\) до максимального значения в точке \((\frac{3\pi}{2},3)\).

Интервалы возрастания функции \(f(x)\) будут находиться между этими точками.

Также можно заметить, что функция \(f(x)\) убывает с максимального значения в точке \((\pi,-1)\) до минимального значения в точке \((2\pi,3)\).

Поэтому интервалы убывания функции \(f(x)\) будут находиться между этими точками.

Вот так выглядит график функции \(f(x) = 2 \cos(x) + 1\):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(f(x)\)},
xmin=-3*pi/2,
xmax=3*pi/2,
ymin=-3,
ymax=5,
xtick={-3.14159, -3*pi/2, -pi, -pi/2, 0, pi/2, pi, 3*pi/2, 3.14159},
xticklabels={\(-\pi\), \(-\frac{3\pi}{2}\), \(-\pi\), \(-\frac{\pi}{2}\), 0, \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(\pi\)},
ytick={-3, -1, 1, 3},
yticklabels={-1-2,-1,-1+2,1+2},
legend style={at={(1,0.5)},anchor=west},
]
\addplot[blue, domain=-3*pi/2:3*pi/2, samples=200]{2*cos(deg(x))+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Таким образом, ответ на задачу:

а) Диапазон значений функции \(f(x) = 2 \cos(x) + 1\) составляет от -1 до 3.

б) Интервалы возрастания функции находятся между точками \((\frac{\pi}{2},-1)\) и \((\frac{3\pi}{2},3)\). Интервалы убывания функции находятся между точками \((\pi,-1)\) и \((2\pi,3)\).