1) Проведите исследование функции на возрастание и убывание, а также на точки экстремума. 2) Найдите максимальное

Pylayuschiy_Drakon

10

Для исследования функции на возрастание и убывание, а также на точки экстремума, необходимо выполнить следующие шаги:

1) Найдите производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания. Для этого возьмите первую производную функции \( f"(x) \), где \( f(x) \) - исследуемая функция.

2) Найдите критические точки функции, где производная равна нулю или неопределена. Запишите \( f"(x) = 0 \) и решите уравнение, чтобы найти значения \( x \).

3) Используя вторую производную \( f""(x) \), определите тип точки экстремума в найденных критических точках. Если \( f""(x) > 0 \), это будет локальный минимум, если \( f""(x) < 0 \), это будет локальный максимум. Если \( f""(x) = 0 \), то это будет точка перегиба.

4) Определите значения функции в найденных критических точках и сравните их друг с другом. Найдите значения функции в начале и конце интервала, чтобы определить максимальное и минимальное значение функции.

\n
Давайте приведем пример.

Предположим, что нам дана функция \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 \). Давайте исследуем эту функцию на возрастание и убывание, а также найдем ее точки экстремума на всей числовой оси.

1) Начнем с нахождения производной функции. Производная функции \( f"(x) \) выглядит следующим образом:

\[ f"(x) = 3x^2 - 8x \]

2) Чтобы найти критические точки функции, мы должны решить уравнение \( f"(x) = 0 \). Подставим производную равную нулю и решим уравнение:

\[ 3x^2 - 8x = 0 \]

Найдем общий множитель и разложим его на множители:
\[ x(3x - 8) = 0 \]

Теперь мы имеем два варианта: \( x = 0 \) или \( 3x - 8 = 0 \). Решим каждое уравнение:

\( x = 0 \) или \( x = \frac{8}{3} \)

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{8}{3} \).

3) Определим тип каждой критической точки, используя вторую производную \( f""(x) \). Возьмем вторую производную функции:

\[ f""(x) = 6x - 8 \]

Подставим значения \( x \) во вторую производную:
\[ f""(0) = -8 \]
\[ f""\left(\frac{8}{3}\right) = 6\left(\frac{8}{3}\right) - 8 = -\frac{8}{3} \]

Таким образом, \( x = 0 \) будет локальным максимумом, а \( x = \frac{8}{3} \) будет локальным минимумом.

4) Теперь мы должны определить значения функции в найденных критических точках и сравнить их.

Для \( x = 0 \):
\[ f(0) = (0)^3 - 4(0)^2 + 3 = 3 \]

Для \( x = \frac{8}{3} \):
\[ f\left(\frac{8}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{8}{3}\right)^2 + 3 = -\frac{8}{27} \]

Таким образом, мы получили, что локальный максимум составляет 3, а локальный минимум составляет -8/27.

Теперь, чтобы найти максимальное и минимальное значение функции на полуинтервале, мы должны также определить значения функции в начале и конце интервала. Предположим, что наш полуинтервал - это интервал [0, 5].

Для \( x = 0 \):
\[ f(0) = 3 \]

Для \( x = 5 \):
\[ f(5) = (5)^3 - 4(5)^2 + 3 = 43 \]

Таким образом, максимальное значение функции на полуинтервале [0, 5] составляет 43, а минимальное значение - 3.

Вот и все! Теперь мы исследовали функцию на возрастание и убывание, нашли точки экстремума и определили максимальное и минимальное значение функции на полуинтервале [0, 5]. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.