1. Провести схематическую диаграмму для функции, указав ее область определения и множество значений: а) у = лог x

Золотая_Пыль_7225

54

Для начала давайте разберемся с первой задачей.

1а) Функция \(y = \log x\) имеет следующую схематическую диаграмму:

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
\hline
x & 0 & +\infty \\
\hline
y & -\infty & +\infty \\
\hline
\end{{array}}
\]

Область определения функции \(y = \log x\) — все положительные числа \(x > 0\), потому что логарифм отрицательного числа не определен. Таким образом, \(\text{{Область определения}}: x > 0\).

Множество значений функции \(y = \log x\) — все действительные числа \(y\), так как логарифм может принимать любое значение. Таким образом, \(\text{{Множество значений}}: y \in \mathbb{R}\).

1б) Функция \(y^{0.4} = \log 2\) также имеет ограничения на область определения и множество значений, поскольку у функции есть степень 0.4.

Для построения схематической диаграммы этой функции, мы сначала должны преобразовать уравнение в эквивалентную форму, избавившись от степени. Возведем обе части уравнения в степень 2.5:

\((y^{0.4})^{2.5} = (\log 2)^{2.5}\)

Функция степени \((y^{0.4})^{2.5}\) равна \(y\) и функция степени \((\log 2)^{2.5}\) равна некоторому числу.

Таким образом, у нас получается уравнение вида:

\(y = \text{{const}}\)

То есть, функция \(y = \text{{const}}\), где \(\text{{const}} = (\log 2)^{2.5}\).

Схематическая диаграмма данной функции будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
\hline
x & \text{{const}} \\
\hline
y & \text{{const}} & \text{{const}} \\
\hline
\end{{array}}
\]

Область определения функции \(y^{0.4} = \log 2\) — все действительные числа \(x\).

Множество значений функции \(y^{0.4} = \log 2\) — одно число \(\text{{const}}\), так как функция имеет постоянное значение.

Таким образом, \(\text{{Область определения}}: x \in \mathbb{R}\), \(\text{{Множество значений}}: y = \text{{const}}\), где \(\text{{const}} = (\log 2)^{2.5}\).

Приступим ко второй задаче.

2а) Функция \(y=[\log 3x]\) также имеет ограничения на область определения и множество значений, так как внутри функции находится логарифм.

Схематическая диаграмма этой функции будет зависеть от области определения и множества значений логарифма.

Поскольку логарифм \(\log 3x\) определен только для положительных значений аргумента, то функция \(\log 3x\) будет определена для всех положительных значения \(x > 0\).

Множество значений функции \(\log 3x\) также будет зависеть от аргумента. Чтобы найти множество значений, нужно анализировать различные значения \(x\).

Таким образом, диаграмма функции \(y=[\log 3x]\) будет состоять из нескольких точек, которые можно построить, подставляя различные значения \(x\) в \(\log 3x\) и округляя результат до целого числа. Однако, без конкретных значений \(x\) невозможно построить полную диаграмму.

Область определения функции \(y=[\log 3x]\): \(x > 0\), так как \(\log 3x\) определен только для положительных значений \(x\).

2б) Функция \(y=\log2[3-x]\) имеет аналогичные ограничения на область определения и множество значений, как и предыдущая функция.

Схематическая диаграмма этой функции также будет зависеть от области определения и множества значений логарифма \(\log2[3-x]\).

Хотя нам не даны конкретные значения \(x\), мы можем анализировать различные случаи, чтобы построить общую диаграмму.

Область определения функции \(y=\log2[3-x]\) будет зависеть от значения \(3-x\) внутри логарифма. Чтобы логарифм был определен, значение \(3-x\) должно быть положительным, то есть \(3-x > 0\). Решим это неравенство относительно \(x\):

\(3-x > 0\)

\(x < 3\)

Таким образом, область определения функции \(y=\log2[3-x]\) будет \(x < 3\).

Множество значений функции \(y=\log2[3-x]\) также будет зависеть от значения \(3-x\) внутри логарифма. Значение \(3-x\) может быть любым отрицательным числом, так как умножение на \(\log 2\) не изменяет знака числа, а логарифм будет возвращать действительное значение для любого отрицательного аргумента. Таким образом, множество значений функции \(y=\log2[3-x]\) будет все действительные числа.

Область определения функции \(y=\log2[3-x]\): \(x < 3\).

Множество значений функции \(y=\log2[3-x]\): \(y \in \mathbb{R}\), все действительные числа.