1) Сколько чайников и утюгов Екатерина может купить, чтобы получить максимальную полезность и потратить все 8500

Алексей

29

Добро пожаловать! Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться понятием полезности и предельной полезности.

1) Мы знаем, что Екатерина хочет купить чайники и утюги таким образом, чтобы максимизировать свою полезность при заданном бюджете. Помимо этого, она также хочет потратить все 8500 рублей.

Для решения этой задачи, нам необходимо сравнить маржинальные полезности и цены на оба товара. Маржинальная полезность - это изменение полезности от потребления одной единицы товара.

Давайте рассмотрим таблицу с общими полезностями чайников и утюгов:

Таблица полезности:

| Товар | Цена (рубли) | Полезность |
|----------|--------------|------------|
| Чайник | 1000 | 10 |
| Утюг | 1500 | 12 |

Для начала, найдем предельную полезность каждого товара. Предельная полезность - это изменение полезности от каждой дополнительной единицы потребляемого товара.

Чайник:
Пусть х - количество чайников. Тогда предельная полезность будет равна производной от функции полезности по количеству чайников:

\[MP_{\text{чайник}} = \frac{dU_{\text{чайник}}}{d x}\]

Рассматривая таблицу, можно увидеть, что полезность от каждого последующего чайника составляет 10 единиц. Следовательно, предельная полезность чайника равна 10.

Утюг:
Аналогично, предельная полезность утюга будет равна производной от функции полезности по количеству утюгов:

\[MP_{\text{утюг}} = \frac{dU_{\text{утюг}}}{d x}\]

По таблице видно, что полезность от каждого последующего утюга составляет 12 единиц. Следовательно, предельная полезность утюга равна 12.

2) Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи и найдем суммарную предельную полезность, которую получит Екатерина, если она потратит все 8500 рублей.

Пусть \(x\) - количество чайников, а \(y\) - количество утюгов, которые купит Екатерина.

Мы хотим потратить все 8500 рублей, так что у нас есть следующее ограничение:

\[1000x + 1500y = 8500\]

Теперь мы можем максимизировать суммарную полезность, определив, сколько каждого товара следует купить. Наша цель - максимизировать:

\[U_{\text{общ}} = U_{\text{чайник}} + U_{\text{утюг}}\]

\[U_{\text{чайник}} = 10x, \quad U_{\text{утюг}} = 12y\]

Таким образом, задача можно сформулировать следующим образом:

Максимизировать \(U_{\text{общ}} = 10x + 12y\), при условии \(1000x + 1500y = 8500\).

Эту задачу можно решить с помощью метода Лагранжа или метода замены переменных, но давайте воспользуемся методом замены переменных.

Используя ограничение \(1000x + 1500y = 8500\), найдем \(x\) относительно \(y\):

\[x = \frac{8500 - 1500y}{1000}\]

Теперь, заменим \(x\) в формуле предельной полезности чайника \(MP_{\text{чайник}} = 10\) и предельной полезности утюга \(MP_{\text{утюг}} = 12\):

\[MP_{\text{чайник}} = 10 \quad \Rightarrow \quad 10 = \frac{d(10x)}{dx} = \frac{d(10\frac{8500 - 1500y}{1000})}{dy}\]

\[MP_{\text{утюг}} = 12 \quad \Rightarrow \quad 12 = \frac{d(12y)}{dy} = \frac{d(12y)}{dy}\]

Теперь найдем общую предельную полезность, сложив предельные полезности чайника и утюга:

\[MP_{\text{общ}} = MP_{\text{чайник}} + MP_{\text{утюг}} = 10 + 12 = 22\]

Итак, суммарная предельная полезность чайников и утюгов, которые будут приобретены, составляет 22.

Надеюсь, ответ был понятен и обоснован. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!