1) Сколько натуральных чисел n среди первых 1000 таковы, что факториал числа n-1 делится на n? Введите число

Максим

5

1) Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим условие n! делится на n-1. Нам нужно найти количество натуральных чисел n из первых 1000, для которых это условие выполняется.

Для начала, давайте рассмотрим случай, когда n = 1. В этом случае, \(n-1 = 0\), и ноль является делителем любого числа, поэтому n=1 удовлетворяет условию.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда n > 1. Если n > 1, то (n-1)! - факториал числа n-1, даст нам произведение всех натуральных чисел, меньших n-1. То есть, (n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 3 * 2 * 1.

Если (n-1)! делится на n, это означает, что существует целое число k, такое, что (n-1)! = kn. То есть, (n-1)! можно представить в виде произведения k и n. Это означает, что каждый делитель числа (n-1)! будет делиться на n.

Теперь рассмотрим числа 1 и 2. В этом случае, (1-1)! = 0! = 1, что делится на 1. И (2-1)! = 1!, что также делится на 2. Таким образом, числа 1 и 2 удовлетворяют условию.

Теперь мы знаем, что все числа n, меньшие или равные 2, удовлетворяют условию. Рассмотрим числа от 3 до 1000. В этом случае, (n-1)! будет произведением всех чисел от 1 до n-1. Давайте проверим, для каких значений n, (n-1)! делится на n.

Если (n-1)! делится на n, то это означает, что каждый делитель числа (n-1)! делится на n. Мы знаем, что максимальный делитель числа (n-1)! — это само (n-1)!. Если (n-1)! делится на n, то само (n-1)! непременно делится на n.

Таким образом, мы можем утверждать, что факториал числа n-1 делится на n, если и только если (n-1)! делится на n.

Поскольку (n-1)! делится на n для каждого значения n от 1 до 1000 включительно, количество натуральных чисел n, для которых условие выполняется, равно 1000.

2) Чтобы доказать, что оставшееся число является делителем 2020!, давайте рассмотрим процесс, описанный в задаче.

У нас есть строка чисел от 0 до 2020, и мы постепенно суммируем числа попарно и стираем исходную строку. Таким образом, каждый шаг мы суммируем два числа и заменяем их суммой.

Посмотрим на первый шаг: сумма первых двух чисел, 0 и 1, равна 1. Затем процесс повторяется, и мы снова суммируем первые два числа, 1 и 2, получая 3. Процесс продолжается до тех пор, пока на доске не останется только одно число.

Мы можем заметить, что на каждом шаге мы создаем новое число, которое является суммой двух предыдущих чисел. Изначально у нас были все натуральные числа от 0 до 2020. На первом шаге мы получили 2021 (сумма 0 и 1), на втором шаге 2023 (сумма 1 и 2), на третьем шаге 2026 и так далее.

Мы видим, что каждое результирующее число является суммой двух предыдущих чисел. Формально говоря, это выглядит следующим образом:

\[x_{n} = x_{n-1} + x_{n-2}\]

Где \(x_{n}\) - это n-е результирующее число, \(x_{n-1}\) - предыдущее результирующее число, а \(x_{n-2}\) - число перед ним.

Теперь давайте докажем, что это последовательность чисел является числовой последовательностью Фибоначчи. Числа Фибоначчи определяются следующим образом:

\[F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\]

Где \(F_{n}\) - это n-е число Фибоначчи, \(F_{n-1}\) - предыдущее число Фибоначчи, а \(F_{n-2}\) - число перед ним.

Мы видим, что эта последовательность чисел, которую мы получаем в задаче, повторяет свойства числовой последовательности Фибоначчи. Таким образом, последнее число на доске является \(x_{2020}\), поэтому оно является числом Фибоначчи \(F_{2020}\).

Теперь рассмотрим число 2020!. Мы знаем, что факториал числа n обозначается как n!. Факториал числа n - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. То есть,

\[2020! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 2019 \cdot 2020\]

Если мы посмотрим на определение чисел Фибоначчи, мы увидим, что \(F_{2020}\) является суммой двух чисел Фибоначчи - \(F_{2019}\) и \(F_{2018}\). Это подтверждается нашим обобщением:

\[x_{n} = x_{n-1} + x_{n-2}\]

потому что ходом итерации, выделенной нами в задаче, мы получаем новые числа, являющиеся суммой предыдущих чисел.

Таким образом, последнее число на доске равно \(F_{2020}\), а это число является суммой двух чисел Фибоначчи \(F_{2019}\) и \(F_{2018}\).

А когда мы рассмотрим факториал 2020!, мы увидим, что это число содержит все натуральные числа от 1 до 2020. Мы можем утверждать, что каждый множитель в факториале делится на соответствующее число Фибоначчи. Например, первый множитель 1 делится на \(F_{1}\), второй множитель 2 делится на \(F_{2}\) и так далее.

Таким образом, каждый множитель в факториале 2020! делится на \(F_{2019}\) и \(F_{2018}\). Следовательно, последнее число на доске, являющееся суммой \(F_{2019}\) и \(F_{2018}\), также делится на \(F_{2019}\) и \(F_{2018}\).

То есть, последнее число на доске является делителем факториала 2020!.