1) Сколько существует последовательностей длины n, состоящих из цифр от 0 до k-1, где никакие два соседних элемента

Skorostnaya_Babochka

9

Задача 1:
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим возможные варианты для каждой позиции в последовательности от 1 до N.

Если мы рассмотрим позицию 1, то у нас будет K возможных вариантов, так как любая цифра от 0 до K-1 может стоять на первой позиции.

Теперь рассмотрим позицию 2. Здесь у нас будет K-1 возможных вариантов, так как мы не можем выбрать 0 одновременно с цифрой, которая уже находится на первой позиции.

То же самое продолжается и для всех остальных позиций от 3 до N. На каждой позиции у нас будет K-1 возможных вариантов, так как мы не можем выбрать 0 одновременно с предыдущей позицией.

Таким образом, общее количество последовательностей длины N без двух нулей подряд будет равно (K) * (K-1)^(N-1), где (^) обозначает возведение в степень.

Задача 2:
Для этой задачи мы можем использовать подход, аналогичный предыдущей задаче.

Если мы рассмотрим позицию 1, то у нас будет 2 возможных варианта: 0 или 1, так как последовательность состоит только из нулей и единиц.

Теперь рассмотрим позицию 2. Здесь также будет 2 возможных варианта: 0 или 1.

Для позиций от 3 до N мы должны исключить случай, когда три единицы идут подряд. Таким образом, у нас будет 2 возможных варианта: 0 или 1, за исключением случая, когда на предыдущих двух позициях были единицы. Это сделано для того, чтобы условие "никакие три единицы не стоят рядом" выполнялось.

Таким образом, общее количество последовательностей длины N без трех единиц подряд будет равно 2^(N-2), так как у нас есть два возможных варианта для каждой позиции от 1 до N, за исключением первых двух позиций, где у нас есть только по одному возможному варианту (0 или 1).

Я надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять решение данных задач.