1. Сколько вариантов можно получить, используя четыре заданных числа: 2, 4, 6, 8, чтобы получить а) четырёхзначные

Zayka

38

Конечно, я с удовольствием помогу вам с решением задач. Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Для расчета количества вариантов, которые можно получить, используя четыре заданных числа 2, 4, 6, 8, нам потребуется знание комбинаторики.

а) Четырехзначные числа можно получить выбирая одно из четырех заданных чисел в каждой позиции номера. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел будет равно \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\).

б) Теперь мы хотим определить количество четырехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2. В данном случае нам нужно выбрать цифру 2 для первой позиции, а для остальных позиций мы всё так же можем выбирать любое из четырех заданных чисел. Получаем общее количество чисел равное \(1 \times 4 \times 4 \times 4 = 64\).

в) Для определения количества произведений двух заданных чисел, которые не повторяются, нам нужно выбрать два разных числа из заданных четырех. Это можно рассчитать, применив формулу сочетаний: \({{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.
Нам нужно выбрать 2 из 4 чисел, значит \({{4}\choose{2}} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6\).

г) Для определения количества двузначных чисел, не повторяющихся, мы можем выбрать первую цифру из двух заданных чисел, а для второй позиции выбрать оставшееся число из трех оставшихся. Таким образом, общее количество двузначных чисел будет равно \(4 \times 3 = 12\).

2. Чтобы рассчитать вероятность того, что три конкретные книги окажутся рядом при случайном расположении 10 книг, нам необходимо знать общее количество возможных расположений 10 книг и количество расположений, при которых три конкретные книги будут рядом.

Общее количество возможных расположений 10 книг можно рассчитать, применив формулу факториала: \(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Теперь нам нужно определить количество расположений, при которых три конкретные книги будут рядом. Поскольку эти три книги рассматриваются как единый элемент, то у нас есть 8 других книг и "группа" из трех книг. Поэтому общее количество расположений будет равно \(8! \cdot 3!\), где \(8!\) - количество возможных расположений 8 книг, и \(3!\) - количество возможных расположений внутри "группы" из трех книг.

Теперь, чтобы рассчитать вероятность, мы должны разделить количество расположений, при которых три конкретные книги будут рядом, на общее количество возможных расположений 10 книг:
\[P = \frac{8! \cdot 3!}{10!}\]

3. Для расчета вероятности того, что два случайно выбранных шара будут одного цвета, нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций двух шаров и количество комбинаций, при которых оба шара будут одного цвета.

Общее количество возможных комбинаций двух шаров можно рассчитать применив формулу сочетаний: \({{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций двух шаров будет равно \({{16}\choose{2}} = \frac{16!}{2!(16-2)!}\).

Теперь нам нужно определить количество комбинаций, при которых два выбранных шара будут одного цвета. Мы можем рассмотреть два случая: когда оба шара красные и когда оба шара белые. Для каждого случая мы можем выбрать 2 из 10 шаров (красных или белых) соответственно. Поэтому общее количество комбинаций будет равно \({{10}\choose{2}} + {{6}\choose{2}}\).

Теперь, чтобы рассчитать вероятность, мы должны разделить количество комбинаций, при которых два выбранных шара будут одного цвета, на общее количество возможных комбинаций двух шаров:
\[P = \frac{{10\choose2} + {6\choose2}}{{16\choose2}}\]

4. Чтобы найти вероятность каждого из происшествий, нам необходимо знать общее количество возможных исходов и количество исходов для каждого события.

Общее количество возможных исходов при бросании двух игральных костей будет равно произведению числа возможных исходов для каждой кости. Поскольку у каждой кости есть 6 возможных результатов, общее количество возможных исходов будет равно \(6 \cdot 6 = 36\).

Теперь рассмотрим каждое из событий:
- Событие A: Сумма выпавших очков равна 7. Есть 6 возможных комбинаций, которые дают сумму 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Таким образом, количество благоприятных исходов для события A равно 6.
- Событие B: Сумма выпавших очков равна 9. Есть 4 возможные комбинации, которые дают сумму 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3). Таким образом, количество благоприятных исходов для события B равно 4.
- Событие C: Сумма выпавших очков равна 3. Есть только 1 возможная комбинация, которая даёт сумму 3: (1, 2). Таким образом, количество благоприятных исходов для события C равно 1.

Теперь мы можем рассчитать вероятность каждого события, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:
\[P(A) = \frac{6}{36}, \quad P(B) = \frac{4}{36}, \quad P(C) = \frac{1}{36}\]

Это подробное решение задач, включающее пошаговые рассуждения и арифметические расчеты. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется дополнительное объяснение, буду рад помочь!