1) Сколько вершин в графе, где каждая вершина имеет степень 3, а количество ребер больше 16, но меньше 20? 2) Сколько

Букашка

45

1) Чтобы найти количество вершин в заданном графе, мы должны учесть два условия: каждая вершина имеет степень 3 и количество ребер больше 16, но меньше 20.

Для начала, давайте посмотрим на условие степеней вершин. Известно, что степень вершины - это количество ребер, связанных с данной вершиной. Поэтому, каждая вершина в нашем графе обязательно должна иметь степень 3.

Далее нам известно, что количество ребер в графе больше 16, но меньше 20. Зная, что каждое ребро представляет собой связь между двумя вершинами, мы можем использовать следующую формулу для нахождения общего количества ребер в графе:

\[Количество\:ребер = \frac{1}{2} \cdot Количество\:вершин \cdot Степень\:графа\]

Зная, что количество ребер больше 16, но меньше 20, мы можем записать это неравенство как:

\[16 < \frac{1}{2} \cdot Количество\:вершин \cdot 3 < 20\]

Упростив это неравенство, получим:

\[8 < Количество\:вершин < \frac{40}{3}\]

Так как число вершин должно быть целым числом, решим это неравенство в целых числах. Таким образом, количество вершин должно быть равно 9.

Ответ: В графе должно быть 9 вершин.

2) В этой задаче нам дано, что в графе имеется 30 вершин и 80 ребер. Мы должны найти количество вершин степени 5 или 6.

Чтобы найти их количество, мы должны использовать свойство графа, что сумма степеней вершин равна удвоенному количеству ребер. Поэтому, мы можем записать следующее равенство:

\[2 \cdot Количество\:ребер = \sum_{i=1}^{n} Степень\:вершины_i\]

Где \(n\) - количество вершин в графе.

Обозначим через \(x\) количество вершин степени 5 и через \(y\) количество вершин степени 6. Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 30 \\ 5x + 6y = 2 \cdot 80 \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значение \(x\) и \(y\).

\[x = 20, \quad y = 10\]

Ответ: В данном графе имеется 20 вершин степени 5 и 10 вершин степени 6.