Каково основание системы счисления, если число 79 записывается в виде 211n?

Georgiy

48

Чтобы определить основание системы счисления, в которой число 79 записывается в виде 211n, нужно решить следующее уравнение:

\( (2 \cdot n)^2 + 1 \cdot (2 \cdot n) + 1 = 79 \)

Давайте посмотрим, как мы можем получить это уравнение:

Когда мы записываем число 79 в данной системе счисления, мы разбиваем его на разряды. У нас есть единицы, двоичные числа (в системе счисления с основанием 2) и сотни, которые равны \(n\) в нашей системе счисления.

Таким образом, число 79 записывается как \(2^2 \cdot n + 1 \cdot 2 \cdot n + 1\).

Распространенным подходом является перевод числа в десятичную систему счисления для упрощения уравнения.

79 в десятичной системе равно \(7 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0\).

Теперь мы можем сравнить запись числа 79 в двоичной системе (с основанием \(n\)) с его записью в десятичной системе. Это дает нам уравнение:

\[
(2 \cdot n)^2 + 1 \cdot (2 \cdot n) + 1 = 7 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0
\]

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получаем:

\[
4 \cdot n^2 + 2 \cdot n + 1 = 70 + 9
\]

Далее можно упростить уравнение еще больше:

\[
4 \cdot n^2 + 2 \cdot n + 1 = 79
\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы должны приравнять его к нулю:

\[
4 \cdot n^2 + 2 \cdot n - 78 = 0
\]

Давайте решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[
n = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где в нашем случае \(a = 4\), \(b = 2\) и \(c = -78\).

Определяем значения \(b^2 - 4ac\) и вычисляем корни \(n\):

\[
D = (2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-78) = 4 + 1248 = 1252
\]

У нас есть положительное значение дискриминанта (\(D > 0\)), поэтому у нас будет два действительных корня:

\[
n_1 = \frac{{-2 + \sqrt{1252}}}{{2 \cdot 4}} \approx 5
\]

\[
n_2 = \frac{{-2 - \sqrt{1252}}}{{2 \cdot 4}} \approx -9.875
\]

Исходя из контекста задачи, где число должно быть положительным, основанием системы счисления будет \(n = 5\).

Таким образом, основание системы счисления, в которой число 79 записывается в виде 211n, равно 5.