1. В некотором испытании Бернулли с вероятностью неудачи q, найдите вероятность следующих событий после 5 испытаний

Lebed

56

Хорошо, давайте решим задачу по теории вероятностей с использованием формул на основе испытаний Бернулли.

1. а) Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность ровно двух успехов после 5 испытаний. Формула для вычисления вероятности такого события имеет следующий вид:

\[
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

Где
\(P(X = k)\) - вероятность того, что произойдет k успехов,
\(C_n^k\) - число комбинаций, в которых могут произойти k успехов при n испытаниях (обычно обозначается как биномиальный коэффициент),
\(p\) - вероятность успеха в одном испытании,
\(q\) - вероятность неудачи в одном испытании,
\(n\) - общее число испытаний.

В данном случае задано, что вероятность неудачи \(q\), а вероятность успеха \(p = 1-q\).

Подставим значения в формулу и решим задачу:

\[
P(X = 2) = C_5^2 \cdot (1 - q)^2 \cdot q^{5-2}
\]

\[
P(X = 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3
\]

Рассчитаем:

\[
P(X = 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3
\]

Таким образом, мы рассчитали вероятность ровно двух успехов после 5 испытаний. Аналогично можно рассчитать вероятность для других событий.

Продолжим решать задачу.

1. б) Теперь посчитаем вероятность ровно одного успеха после 5 испытаний. Пользуясь формулой, получаем:

\[
P(X = 1) = C_5^1 \cdot (1 - q)^4 \cdot q
\]

Подставляем значения:

\[
P(X = 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot (1 - q)^4 \cdot q
\]

\[
P(X = 1) = \frac{5}{1} \cdot (1 - q)^4 \cdot q
\]

2. в) Для нахождения вероятности более двух успехов после 5 испытаний, нужно просуммировать вероятности для случаев трех, четырех и пяти успехов:

\[
P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
\]

Где

\[
P(X = 3) = C_5^3 \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3
\]

\[
P(X = 4) = C_5^4 \cdot (1 - q) \cdot q^4
\]

\[
P(X = 5) = q^5
\]

Применяем формулы:

\[
P(X > 2) = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3 + \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (1 - q) \cdot q^4 + q^5
\]

\[
P(X > 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3 + \frac{5}{1} \cdot (1 - q) \cdot q^4 + q^5
\]

3. г) Чтобы найти вероятность менее четырех успехов, нужно просуммировать вероятности для случаев нуля, одного, двух и трех успехов:

\[
P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
\]

\[
P(X < 4) = (1 - q)^5 + \frac{5}{1} \cdot (1 - q)^4 \cdot q + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot (1 - q)^3 \cdot q^2 + \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (1 - q)^2 \cdot q^3
\]

Таким образом, мы получили подробные ответы на поставленные вопросы задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.