1 вариант. 1. Показать, что треугольник АВС равен треугольнику АDC. Найти значение угла ВАD, если ВС = СD и АСВ

Надежда

19

1 вариант.

1. Чтобы показать, что треугольник АВС равен треугольнику АDC, необходимо доказать, что у них равны две стороны и угол между этими сторонами.

Обозначим сторону ВС как a, сторону CD как b и угол ASC как α.

Так как ВС = СD, то a = b.

Также по условию, АСВ = 55°.

Для доказательства равенства треугольников проведем следующие рассуждения:

- Рассмотрим треугольники АВС и АDC. У них равны стороны ВС и СD (a = b) по условию, и углы АСВ и АCD равны, так как это вертикальные углы (вертикальные углы равны).

- Таким образом, по критерию равенства треугольников ССС (сторона-сторона-сторона) мы доказали, что треугольник АВС равен треугольнику АDC.

Чтобы найти значение угла ВАD, воспользуемся фактом, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

Так как в треугольнике АВС уже известен угол АСВ = 55°, мы можем вычислить угол ВАD следующим образом:

Угол ВАD = 180° - угол АСВ - угол СВА

Так как треугольник АВС равнобедренный и угол СВА равен углу САВ, то: угол СВА = угол САВ.

Учитывая это, можно записать:

Угол ВАD = 180° - угол АСВ - угол САВ

Угол ВАD = 180° - 55° - 55°

Угол ВАD = 70°.

Таким образом, значение угла ВАD равно 70°.

2. Чтобы показать, что треугольник АВО равен треугольнику ОВС, где ВО - высота, необходимо доказать, что у них равны две стороны и угол между этими сторонами.

Обозначим сторону АВ как a, сторону ОВ как h и угол А как α.

Так как треугольник АВО равен треугольнику ОВС, то a = h.

Также по условию, А = 30°.

Для доказательства равенства треугольников проведем следующие рассуждения:

- Рассмотрим треугольники АВО и ОВС. У них равны стороны АВ и ОВ (a = h) по условию, и углы А и С равны, так как это прямые углы (прямые углы равны).

- Таким образом, по критерию равенства треугольников ССС (сторона-сторона-сторона) мы доказали, что треугольник АВО равен треугольнику ОВС.

Чтобы найти значение АВ, воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике:

\(\sin(\alpha) = \frac{{ВО}}{{АВ}}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\sin(30°) = \frac{{6}}{{АВ}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{{6}}{{АВ}}\)

АВ = 12 см.

Таким образом, значение АВ равно 12 см.

3. Чтобы показать, что треугольник АВО равен треугольнику ОВС, где АВС - равнобедренный треугольник и ВО - биссектриса, необходимо доказать, что у них равны две стороны и угол между этими сторонами.

Обозначим сторону АВ как a, сторону АС как b и угол В как α.

Так как треугольник АВО равен треугольнику ОВС, то a = b.

Также по условию, В = 60°.

Для доказательства равенства треугольников проведем следующие рассуждения:

- Рассмотрим треугольники АВО и ОВС. У них равны стороны АВ и АС (a = b) по условию, и углы ВОА и ВСО равны, так как ВО - биссектриса (биссектриса делит угол пополам).

- Таким образом, по критерию равенства треугольников ССС (сторона-сторона-сторона) мы доказали, что треугольник АВО равен треугольнику ОВС.

Чтобы найти значение ВО, воспользуемся теоремой синусов в треугольнике:

\(\frac{{ВО}}{{\sin(В)}} = \frac{{АВ}}{{\sin(ВОА)}}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{{ВО}}{{\sin(60°)}} = \frac{{26}}{{\sin(120°)}}\)

\(\frac{{ВО}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{{26}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}\)

ВО = 26 см.

Таким образом, значение ВО равно 26 см.

4. В треугольнике АВС, где угол В = 90° и внешний угол при вершине А равен 120°, сторона АВ равна 7 см. Чтобы найти длину гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим стороны треугольника АВС как АВ, ВС и AV. Так как угол В = 90°, сторона АВ - гипотенуза. Пусть АС - катет, равный 7 см.

По условию, внешний угол при вершине А равен 120°. Внутренний угол при вершине А равен 180° - 120° = 60°. Так как треугольник АВС прямоугольный, то третий угол равен 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем выразить длину гипотенузы:

\(АВ^2 = АС^2 + СВ^2\)

\(АВ^2 = 7^2 + СВ^2\)

\(АВ^2 = 49 + СВ^2\)

Для дальнейших вычислений нам необходимо найти длину стороны ВС.

Так как угол В = 90°, а внешний угол при вершине А равен 120°, то внутренний угол при вершине С равен 180° - 90° - 120° = -30°.

Но угол не может быть отрицательным, поэтому берем его дополнение до 180°. Таким образом, внутренний угол при вершине С равен 180° - (-30°) = 210°.

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения стороны ВС:

\(\cos(210°) = \frac{{ВС}}{{АС}}\)

\(-\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{ВС}}{{7}}\)

\(ВС = -\frac{{7\sqrt{3}}}{2}\) (отрицательное значение не имеет физического смысла в данной задаче)

Итак, мы нашли, что сторона АВ равна 7 см, сторона ВС равна \(-\frac{{7\sqrt{3}}}{2}\) см (отрицательное значение не подходит). Теперь мы подставляем известные значения в формулу для длины гипотенузы:

\(АВ^2 = 7^2 + СВ^2\)

\(50 = 49 + СВ^2\)

\(СВ^2 = 50 - 49\)

\(СВ^2 = 1\)

СВ = 1 см.

Таким образом, длина гипотенузы равна 1 см.

2 вариант.

1. Чтобы показать, что треугольники АВС и АДС прямоугольные и подобны, необходимо доказать, что углы АВС и АДС равны 90° (прямые углы) и отношение длин сторон АВ и АД соответственно к длинам сторон ВС и СД равно.

Для доказательства проведем следующие рассуждения:

- Рассмотрим треугольники АВС и АДС. У них углы ВСА и САД равны, так как это вертикальные углы (вертикальные углы равны).

- Так как углы ВСА и САД равны, а в сумме они составляют 180° (так как это вертикальные углы), то угол АВС также равен 90°. Аналогично, угол АДС также равен 90°.

- Для доказательства подобия треугольников, необходимо доказать, что отношение длин сторон АВ и АД соответственно к длинам сторон ВС и СД равно.

- Так как ВС = СД, то отношение длин сторон АВ и АД к сторонам ВС и СД соответственно будет равно.

Таким образом, мы доказали, что треугольники АВС и АДС являются прямоугольными и подобными.

2. Чтобы найти значение АВ, воспользуемся теоремой синусов в треугольнике АВС, которая гласит: в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла постоянно.

В данной задаче мы знаем угол АСВ = 30°, значит, можем записать:

\(\frac{{АС}}{{\sin(АСВ)}} = \frac{{АВ}}{{\sin(В)}}\)

Кроме того, по условию задачи, ВС = 6 см и А = 30°.

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{{АС}}{{\sin(30°)}} = \frac{{АВ}}{{\sin(В)}}\)

\(\frac{{6}}{{\frac{{1}}{{2}}}} = \frac{{АВ}}{{\sin(В)}}\)

\(12 = \frac{{АВ}}{{\sin(В)}}\)

Для дальнейших вычислений нам необходимо найти значение синуса угла В.

По определению синуса, мы можем записать:

\(\sin(В) = \frac{{противояжая}}{{гипотенуза}}\)

В нашем треугольнике АВС гипотенузой является сторона АС, а противояжая углу В является сторона ВС.

Поэтому можем записать:

\(\sin(В) = \frac{{ВС}}{{АС}}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\sin(В) = \frac{{6}}{{АС}}\)

Теперь мы можем выразить АВ:

\(12 = \frac{{АВ}}{{\sin(В)}}\)

\(12 = \frac{{АВ}}{{\frac{{6}}{{АС}}}}\)

\(12 = \frac{{АВ \cdot АС}}{{6}}\)

\(АВ \cdot АС = 72\)

\(АВ = \frac{{72}}{{АС}}\)

Так как АС неизвестно, мы не можем точно определить значение АВ. Нам необходимо знать