Какова площадь поверхности сферического сегмента, отсеченного от шара секущей плоскостью, проходящей на расстоянии

Yantarnoe

37

Чтобы решить эту задачу, мы сначала должны определить, какой именно сегмент сферы нам нужно вычислить. В данном случае, секущая плоскость проходит на расстоянии 12 см от центра шара и формирует круг радиусом 5 см в сечении.

Для начала, определим расстояние от центра шара до круга, который формируется секущей плоскостью. Это расстояние равно радиусу шара минус радиусу круга. Извлекая значения из формулы, получаем:

\(r_1 = R - r = 12 - 5 = 7\) (где \(R\) - радиус шара, а \(r\) - радиус круга).

Зная это расстояние, мы можем перейти к вычислению площади поверхности сферического сегмента. Площадь поверхности сферического сегмента можно найти, используя формулу:

\[S = 2\pi r_1 h\] (где \(r_1\) - радиус основания сегмента, а \(h\) - высота сегмента).

Осталось только найти высоту сегмента. Высоту сегмента можно найти, используя теорему Пифагора. Поскольку у нас есть нижний радиус сегмента (\(r_1\)), верхний радиус сегмента (\(r\)) и диаметр сферы (\(2R\)), мы можем использовать следующее равенство:

\[h = \sqrt{(2R)^2 - (r + r_1)^2}\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[h = \sqrt{(2 \cdot 12)^2 - (5 + 7)^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\]

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности сферического сегмента, подставляя найденные значения в формулу:

\[S = 2\pi \cdot 7 \cdot 12\sqrt{3} = 84\pi\sqrt{3} \approx 145.27 \, \text{см}^2\]

Итак, площадь поверхности сферического сегмента, отсеченного от шара секущей плоскостью, проходящей на расстоянии 12 см от его центра и формирующей круг радиусом 5 см в сечении, составляет приблизительно 145.27 квадратных сантиметров.