1) Выведите все простые делители натурального числа N, учитывая их кратность. Алгоритм должен выполняться за O(n−−√

Anna

23

1) Для решения данной задачи, мы можем использовать следующий алгоритм:
- Инициализировать пустой список для хранения простых делителей. Создать переменную i и установить ее равной 2, так как это наименьший простой делитель.
- Пока квадрат i меньше или равен N, выполнить следующие шаги:
- Если N делится на i без остатка, добавить i в список простых делителей.
- Увеличить i на 1.
- Если N больше 1, это значит, что N является простым числом, поэтому его можно добавить в список простых делителей.

Пояснение:
Алгоритм основан на том, что для поиска всех простых делителей числа N мы проверяем все числа от 2 до корня из N. Если число делит N без остатка, то оно является его простым делителем. Все найденные простые делители сохраняются в список. После того, как все числа от 2 до корня из N были проверены, мы проверяем, является ли N простым числом и добавляем его в список делителей, если это так.

Пошаговое решение:
Пусть N = 36.
Шаг 1: Инициализация пустого списка простых делителей.
Шаг 2: Установка i = 2.
Шаг 3: Проверка условия (2 * 2 <= 36). Условие выполняется.
Шаг 4: Проверка делится ли 36 на 2 без остатка. Условие выполняется. Добавление 2 в список простых делителей.
Шаг 5: Увеличение i на 1. i = 3.
Шаг 6: Проверка условия (3 * 3 <= 36). Условие выполняется.
Шаг 7: Проверка делится ли 36 на 3 без остатка. Условие не выполняется.
Шаг 8: Увеличение i на 1. i = 4.
Шаг 9: Проверка условия (4 * 4 <= 36). Условие выполняется.
Шаг 10: Проверка делится ли 36 на 4 без остатка. Условие выполняется. Добавление 4 в список простых делителей.
Шаг 11: Увеличение i на 1. i = 5.
Шаг 12: Проверка условия (5 * 5 <= 36). Условие выполняется.
Шаг 13: Проверка делится ли 36 на 5 без остатка. Условие не выполняется.
Шаг 14: Увеличение i на 1. i = 6.
Шаг 15: Проверка условия (6 * 6 <= 36). Условие выполняется.
Шаг 16: Проверка делится ли 36 на 6 без остатка. Условие выполняется. Добавление 6 в список простых делителей.
Шаг 17: Увеличение i на 1. i = 7.
Шаг 18: Проверка условия (7 * 7 <= 36). Условие не выполняется.
Шаг 19: Завершение алгоритма. N = 36 не является простым числом, поэтому его также добавляем в список простых делителей.
Шаг 20: Результат - список простых делителей числа 36: [2, 3, 4, 6, 36].

2) Для решения данной задачи, мы можем использовать следующий алгоритм:
- Инициализировать переменные count и sum, установить их равными 1 (так как любое число делится на 1).
- Инициализировать пустой список для хранения всех делителей числа n.
- Перебрать все числа i от 2 до корня из n:
- Если n делится на i без остатка, увеличить count на 1 и добавить i в список делителей.
- Если i не равно n / i (чтобы избежать дублирования делителей), увеличить count на 1 и добавить n / i в список делителей.
- Добавить n в список делителей и увеличить count на 1.
- Просуммировать все числа в списке делителей и сохранить сумму в переменную sum.

Пояснение:
Алгоритм основан на том, чтобы перебрать все числа от 2 до корня из n и проверить, делится ли n на каждое из них без остатка. Если делится, то это значит, что числа i и n/i являются делителями n. С помощью этого алгоритма мы находим количество делителей числа n и их сумму.

Пошаговое решение:
Пусть n = 36.
Шаг 1: Инициализация переменных count = 1, sum = 1.
Шаг 2: Инициализация пустого списка делителей.
Шаг 3: Перебор чисел i от 2 до корня из 36.
Шаг 4: Проверка условия (36 делится на 2 без остатка). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 2 в список делителей.
Шаг 5: Проверка условия (2 не равно 36 / 2). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 36 / 2 = 18 в список делителей.
Шаг 6: Проверка условия (36 делится на 3 без остатка). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 3 в список делителей.
Шаг 7: Проверка условия (3 не равно 36 / 3). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 36 / 3 = 12 в список делителей.
Шаг 8: Проверка условия (36 делится на 4 без остатка). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 4 в список делителей.
Шаг 9: Проверка условия (4 не равно 36 / 4). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 36 / 4 = 9 в список делителей.
Шаг 10: Проверка условия (36 делится на 5 без остатка). Условие не выполняется.
Шаг 11: Проверка условия (36 делится на 6 без остатка). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 6 в список делителей.
Шаг 12: Проверка условия (6 не равно 36 / 6). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 36 / 6 = 6 в список делителей.
Шаг 13: Проверка условия (36 делится на 7 без остатка). Условие не выполняется.
Шаг 14: Проверка условия (36 делится на 8 без остатка). Условие не выполняется.
Шаг 15: Проверка условия (36 делится на 9 без остатка). Условие выполняется. Увеличение count на 1. Добавление 9 в список делителей.
Шаг 16: Добавление числа 36 в список делителей. Увеличение count на 1.
Шаг 17: Просуммирование всех чисел в списке делителей. Получение суммы 1 + 2 + 18 + 3 + 12 + 4 + 9 + 6 + 36 = 91.
Шаг 18: Результат - значение τ(n) = 9 (количество натуральных делителей числа 36) и значение σ(n) = 91 (сумма всех натуральных делителей числа 36).

3) Два различных числа n и m являются дружественными, если сумма всех делителей числа n (кроме самого числа n) равна числу m, а сумма всех делителей числа m (кроме самого числа m) равна числу n.

Чтобы найти дружественные числа, нужно выполнить следующие шаги:
- Инициализировать переменные n и m и задать им различные значения.
- Создать функцию, которая будет вычислять сумму делителей числа d.
- Перебрать все числа i от 1 до n-1:
- Если i является делителем числа n, добавить его к сумме делителей числа n.
- Перебрать все числа j от 1 до m-1:
- Если j является делителем числа m, добавить его к сумме делителей числа m.
- Проверить, равняется ли сумма делителей числа n числу m, и сумма делителей числа m числу n. Если это так, числа n и m являются дружественными.

Например:
Пусть n = 220 и m = 284.
Шаг 1: Инициализация переменных n = 220 и m = 284.
Шаг 2: Создание функции для вычисления суммы делителей числа d.
Шаг 3: Перебор чисел i от 1 до n-1.
Шаг 4: Проверка условия (220 делится на i без остатка). Условие выполняется. Добавление i к сумме делителей числа n.
Шаг 5: Проверка условия (1 делится на n без остатка). Условие выполняется. Добавление 1 к сумме делителей числа n.
Шаг 6: Перебор чисел j от 1 до m-1.
Шаг 7: Проверка условия (284 делится на j без остатка). Условие выполняется. Добавление j к сумме делителей числа m.
Шаг 8: Проверка условия (1 делится на m без остатка). Условие выполняется. Добавление 1 к сумме делителей числа m.
Шаг 9: Проверка условия (сумма делителей числа n равна числу m) и (сумма делителей числа m равна числу n). Условие выполняется. Числа n = 220 и m = 284 являются дружественными.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ был понятен и полезен для Вас! Если у Вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!